54 Treffer in 37 Coups

[Sven-DC]

vor einer Stunde schrieb Hans Dampf:

Aber hier ist ein wichtiger Punkt für deine Idee: Diese Tabelle betrachtet nur, ob irgendeine Zahl wiederholt wird. Sie sagt noch nicht, welche Zahl wiederkommt.

Die Zahl, welche wieder erscheint kann ja nur aus der Gruppe der bereits gefallenen Zahlen kommen.

 

[sachse]

vor einer Stunde schrieb Sven-DC:

weil die Prozentangaben sind allein nicht aussagekräftig, ob  ein Spiel gewinnfähig ist oder nicht.

 

NUR die Prozentangaben sagen exakt, ob ein Spiel gewinnt oder nicht.

Du kannst so dusselig spielen wie möglich, wenn das Spiel ein Plus in

Prozenten aufweist, wirst du gewinnen - ob du willst oder nicht.

[Ropro]

Das kriegt hier die Ausmaße von "Dinner for one"

[elementaar]

vor 42 Minuten schrieb Ropro:

"Dinner for one"

 

ist aber lustig.

Diese Aufführung hier macht fassungslos - aber ohne den Witz.

Außerdem kommt das Diner im Fernsehgerät nur einmal im Jahr.

Hier heißt es: "Same procedure as every day"

 

Am 7.8.2026 um 12:56 schrieb Ropro:

wieder mal kognitiver Kreisverkehr eines Monosynaptikers

 

war schon eine zutreffende Feststellung - und lustig.

 

 

[sachse]

vor 20 Minuten schrieb elementaar:

Außerdem kommt das Diner im Fernsehgerät nur einmal im Jahr.

 

Bisschen ungenau, der Herr.

Gefühlt kommt das Diner einmal im Jahr pro Sender.

[Sven-DC]

vor 2 Stunden schrieb sachse:

 

NUR die Prozentangaben sagen exakt, ob ein Spiel gewinnt oder nicht.

Du kannst so dusselig spielen wie möglich, wenn das Spiel ein Plus in

Prozenten aufweist, wirst du gewinnen - ob du willst oder nicht.

Es kommt drauf an, welche Prozentangabe.

Die TW ist immer in Abhängigkeit von der Gewinnquote zu betrachten um Rückschlüsse auf die Gewinnfähigkeit zu ziehen.

Ein Spiel bei 100 % TW macht durch den math. Auszahlungsnachteil zwangsweise Verluste.

Niedrige TW und hohe Gewinnquote ist besser als hohe TW bei niedriger Gewinnquote, weil bei ersteren der Umsatz geringer und demzufolge der neg. EW des Spieles nicht so stark durschlägt. Die Verlustkurve verläuft flacher, was eine größere Chance für die Gewinnkurve ist.

Es tritt hier genau der Gegeneffekt ein, als bei einen Spiel mit hoher TW und niedriger Gewinnquote, bei diesen kommt man bei einer Fehltrefferserie nicht mehr aus dem Minus, bei einem Spiel mit niedriger TW und hoher TW, gelingt es dem Zufall nicht eine entsprechend lange Verlustserie zu erzeugen, welche die kompletten Gewinne auffrisst. 

 

bearbeitet vor 13 Stunden von Sven-DC

[sachse]

vor 11 Minuten schrieb Sven-DC:

Es kommt drauf an, welche Prozentangabe.

 

Was willst du Schwachkopf denn jetzt schon wieder?

Die Prozentangaben sind plus, minus oder Null.

Etwas anderes gibt es bei der Berechnung eines Spieles nicht.

Wenn die(richtige) Berechnung minus ergibt, hat der Spieler

trotz tausenden "Gewinnsystemen" keine Gewinnchance.

Bei Plusprozenten kann er sich gegen den Gewinn selbst mit

den blödsinnigsten Tricks nicht wehren. Bei plus/minus/Null

verzichtet man besser auf das Spiel - außer zur Unterhaltung.

Alles oben Gesagte gilt nur für ein Langzeitspiel. Die Grenzen

dafür sind bekannt, bzw. berechenbar - wers kann.

[Sven-DC]

vor 16 Minuten schrieb sachse:

Die Prozentangaben sind plus, minus oder Null.

Etwas anderes gibt es bei der Berechnung eines Spieles nicht.

Prozentangaben kann beim Spiel über vieles gemacht werden.

Es gibt da nicht nur eine

Es kommt drauf an, was man ausdrücken/darstellen will.

Berechnen kann man beim Spiel vieles.

TW und Auszahlungsquote sind 2 verschiedene Dinge.

Vermutlich bist du auf die Auszahlungsquote fixiert, dass ist aber auch nicht das Maß der Dinge, welches letztendlich diese nicht allein über Gewinn oder Verlust entscheidet.

Viel entscheidender für ein gewinnbringendes Spiel ist, was man wann wohin setzt.

bearbeitet vor 13 Stunden von Sven-DC

[Hans Dampf]

vor 3 Stunden schrieb Sven-DC:

Die Zahl, welche wieder erscheint kann ja nur aus der Gruppe der bereits gefallenen Zahlen kommen.

 

Ja. Dafür müssen wir zwischen „irgendein Wiederholer“ und „welche bereits gefallene Zahl wiederholt sich“ unterscheiden.

Bei fairem Roulette ist nach n Coups jede einzelne Zahl weiterhin 1/37 = 2,70 % pro nächstem Coup. Was sich verändert, ist nur die Wahrscheinlichkeit, dass der nächste Coup zu den bereits gesehenen Zahlen gehört.

Wenn z. B. nach 13 Coups 11 verschiedene Zahlen erschienen sind:

• 11 Zahlen sind bereits „gesehen“
• 26 Zahlen sind noch nicht erschienen
• nächster Coup: 30,0 % auf irgendeine der 11 gesehenen Zahlen
• 70,0 % auf eine noch nicht gesehene Zahl

Für die einzelnen Wiederholer

Wenn die 11 verschiedenen Zahlen jeweils einmal erschienen wären, hätte jede einzelne davon weiterhin nur 2,70 % Chance auf den nächsten Coup.

Aber wenn eine Zahl bereits mehrfach gefallen ist, wird es interessant: Wir können untersuchen, ob mehrfach gefallene Zahlen kurzfristig häufiger wiederholt werden als Zahlen, die erst einmal erschienen sind.

Dafür brauchen wir allerdings nicht nur deine Tabelle mit der Anzahl verschiedener Zahlen. Wir brauchen die eigentlichen Coup-Folgen, zum Beispiel:

17, 4, 32, 17, 8, 21, 4, 19, 17, ...

Dann kann ich daraus eine richtige Statistik bauen:

Situation vor dem nächsten Coup	Anzahl Fälle	Wiederholung	Quote
Zahl kam 1×	…	…	… %
Zahl kam 2×	…	…	… %
Zahl kam 3×	…	…	… %
Zahl kam 4×+	…	…	… %

Das wäre wesentlich aussagekräftiger für deine Idee mit den „Wiederholern“.

Wenn du mir beispielsweise 100, 500 oder 1.000 Roulette-Coups als Zahlenfolge gibst, kann ich dir daraus genau diese Wiederholer-Statistik erstellen und besonders Coup 9→10, 13→14, 20→21, 25→26 usw. untersuchen.

 

[Sven-DC]

vor 30 Minuten schrieb sachse:

Was willst du Schwachkopf denn jetzt schon wieder?

Jedes mal wenn deine Argumente schwächeln, musst du in die verbale Schmuddelkiste greifen.

Hier scheint deine Kinderstube versagt zu haben,  deine Eltern haben scheinbar vergebens versucht dir Anstand, Manieren und Respekt bei zu bringen.

 

bearbeitet vor 13 Stunden von Sven-DC

[Sven-DC]

vor 28 Minuten schrieb Hans Dampf:

Das wäre wesentlich aussagekräftiger für deine Idee mit den „Wiederholern“.

Wenn du mir beispielsweise 100, 500 oder 1.000 Roulette-Coups als Zahlenfolge gibst, kann ich dir daraus genau diese Wiederholer-Statistik erstellen und besonders Coup 9→10, 13→14, 20→21, 25→26 usw. untersuchen.

 

Ja gute Idee, aber was willst du damit aussagen bzw. darstellen.

Wie sich die Mehrfachwiederholer verhalten ist doch schon längst ausgiebig untersucht und in der Häufigkeitsverteilung der Plein dargestellt.

Das geschah durch Berechnung und wurde auch empirisch geprüft.

Da gibt es nichts neues zu entdecken

bearbeitet vor 13 Stunden von Sven-DC

[Hans Dampf]

vor 23 Minuten schrieb Sven-DC:

Ja gute Idee, aber was willst du damit aussagen bzw. darstellen.

Wie sich die Mehrfachwiederholer verhalten ist doch schon längst ausgiebig untersucht und in der Häufigkeitsverteilung der Plein dargestellt.

Das geschah durch Berechnung und wurde auch empirisch geprüft.

Da gibt es nichts neues zu entdecken

 

KI-Modus:

 

Ja, da hast du recht. Die Mehrfachwiederholung einer einzelnen Plein-Zahl wäre hier nicht der interessante Ansatz. Das ist im Grunde bereits durch die Binomial-/Multinomialverteilung und die empirische Häufigkeitsverteilung abgedeckt.

Ich würde deine ursprüngliche Beobachtung deshalb anders interpretieren:

Was an deiner Tabelle tatsächlich interessant ist

Du betrachtest nicht, welche Zahl sich wiederholt, sondern die Anzahl verschiedener Zahlen innerhalb einer Coup-Serie.

Das ist eine andere Größe:

Wie schnell wächst die Zahl der besetzten Pleins, wenn die Coups fortschreiten?

Deine Werte zeigen dabei sehr schön eine Art Sättigung:

• Coup 1 → 1,000 verschiedene
• Coup 9 → 8,079
• Coup 13 → 11,087
• Coup 20 → 15,610
• Coup 26 → 18,852
• Coup 37 → 23,575

Der Zuwachs wird immer kleiner.

Und genau das erklärt deine ursprüngliche Beobachtung bei 9→10 und 13→14:

Es geht nicht darum, dass eine bestimmte Zahl „fällig“ ist, sondern darum, dass der Pool der bereits gesehenen Zahlen immer größer wird. Deshalb wird ein neuer Coup zunehmend wahrscheinlich eine bereits besetzte Position treffen.

Der eigentliche interessante Punkt

Man kann die Tabelle sogar auf eine sehr einfache Größe reduzieren:

Erwarteter Zuwachs an neuen Pleins beim nächsten Coup

Δn=E(Dn+1)−E(Dn)

und gleichzeitig:

1−Δn

als erwarteten Anteil der Coups, die keinen neuen Plein hinzufügen.

Das ist eigentlich genau das, was du in deiner Tabelle bereits intuitiv erkannt hast.

Zum Beispiel:

Übergang	neue Pleins Ø	kein neuer Plein Ø
9 → 10	0,791	0,209
13 → 14	0,701	0,299
20 → 21	0,578	0,422
25 → 26	0,504	0,496
26 → 27	0,491	0,509
30 → 31	0,440	0,560
37 → 38	ca. 0,363	ca. 0,637

Das ist die eigentliche Entwicklung: Ab ungefähr Coup 26 ist der nächste Coup im Durchschnitt eher ein Coup, der keinen neuen Plein bringt, als einer, der einen neuen Plein erschließt.

Und ich glaube, das ist näher an dem, was du ursprünglich mit „Coup 9 und 10 fast gleich, das bedeutet Wiederholer“ gemeint hast.

[sachse]

vor 51 Minuten schrieb Sven-DC:

Viel entscheidender für ein gewinnbringendes Spiel ist, was man wann wohin setzt.

 

Diese Gabe hat dir wie viel Millionen gebracht, die

du natürlich angelegt hast, statt davon zu leben?

[Sven-DC]

vor 19 Minuten schrieb Hans Dampf:

Wie schnell wächst die Zahl der besetzten Pleins, wenn die Coups fortschreiten?

Gern kannst du das ja auch noch mal darstellen, aber es auch bereits Gegenstand der BIN- Tabelle, wo man   Coupzahlbezogen bis ca. 150 Coups für jeden Coup ablesen kann, wieviel verschiedene Zahlen getroffen wurden und wie hoch demzufolge der Trefferabstand bis  wieder eine Zahl aus der noch nicht erschienenen getroffen wird. Hier kann man dann auch von Restanten sprechen.

Die Tabelle hatte ich hier schon mal irgendwo hochgeladen, du wirst sie finden.

Etwas nachteilig daran, aber praxisnah, es werden nur ganze Zahlen und volle Coups dargestellt, was natürlich zu einer genauen math. Prozentangabe abweichend ist.

Im  Prinzip sagt die Tabelle aus, je weniger Zahlen noch nicht getroffen ( Restanten) desto größer mit steigender Coupzahl die Trefferabstände, was dann ein Spiel auf die letzten offenen Plein schwierig gestaltet, weil es ja auch noch die Schwankungen vom Mittelwert gibt.

Aber Grundsätzlich an der Sache erst mal soooo schleeecht nicht, weil wenige Zahlen zu spielen, als wenig Umsatz, flache  Verlustkurve, gute Chance schnell in die Gewinnzone zu kommen.

Im allgemeinen wird aber von bekannten Roulettforschern abgeraten, auf die letzten oder sogar die letzte offene Plein zu spielen, da gibt es Besseres.

bearbeitet vor 12 Stunden von Sven-DC

[Sven-DC]

Gerade eben schrieb sachse:

 

Diese Gabe hat dir wie viel Millionen gebracht, die

du natürlich angelegt hast, statt davon zu leben?

Ich arbeite noch an der ersten, die ja bekanntlich die schwerste ist, dann gehts leichter

[Hans Dampf]

vor 10 Minuten schrieb Sven-DC:

Gern kannst du das ja auch noch mal darstellen, aber es auch bereits Gegenstand der BIN- Tabelle, wo man   Coupzahlbezogen bis ca. 150 Coups für jeden Coup ablesen kann, wieviel verschiedene Zahlen getroffen wurden und wie hoch demzufolge der Trefferabstand bis  wieder eine Zahl aus der noch nicht erschienenen getroffen wird. Hier kann man dann auch von Restanten sprechen.

Die Tabelle hatte ich hier schon mal irgendwo hochgeladen, du wirst sie finden.

Etwas nachteilig daran, aber praxisnah, es werden nur ganze Zahlen und volle Coups dargestellt, was natürlich zu einer genauen math. Prozentangabe abweichend ist.

Im  Prinzip sagt die Tabelle aus, je weniger Zahlen noch nicht getroffen ( Restanten) desto größer mit steigender Coupzahl die Trefferabstände, was dann ein Spiel auf die letzten offenen Plein schwierig gestaltet, weil es ja auch noch die Schwankungen vom Mittelwert gibt.

Aber Grundsätzlich an der Sache erst mal soooo schleeecht nicht, weil wenige Zahlen zu spielen, als wenig Umsatz, flache  Verlustkurve, gute Chance schnell in die Gewinnzone zu kommen.

Im allgemeinen wird aber von bekannten Roulettforschern abgeraten, auf die letzten oder sogar die letzte offene Plein zu spielen, da gibt es Besseres.

 

KI-Modus:

 

Ja, jetzt ist der Zusammenhang deutlich klarer. Du beschreibst im Grunde zwei Seiten derselben Besetzungsdynamik:

1. BIN-Tabelle: coupbezogen → wie viele verschiedene Pleins sind bereits getroffen?
2. Daraus abgeleitet → wie viele Restanten sind noch offen?
3. Und daraus wiederum → wie groß wird der durchschnittliche Trefferabstand, bis einer dieser Restanten getroffen wird?

Das ist tatsächlich interessanter als nur die Frage „Wie viele Wiederholer gibt es?“.

Restanten und Trefferabstand

Wenn nach n Coups beispielsweise durchschnittlich 24 Pleins getroffen wurden, bleiben:

37−24=13

Pleins als Restanten übrig.

Für einen einzelnen Coup ist dann die Wahrscheinlichkeit, einen dieser 13 Restanten zu treffen:

3713≈35,1%

Der durchschnittliche Abstand bis zum ersten Treffer irgendeines Restanten wäre damit ungefähr:

1337≈2,85 Coups

Wenn später nur noch 5 Restanten übrig sind:

375=13,5%

und der mittlere Abstand steigt auf:

537=7,4 Coups.

Bei nur einem letzten Restanten wird daraus theoretisch:

137=37 Coups.

Das ist genau die von dir beschriebene Entwicklung:

Je kleiner die Restantenmenge wird, desto größer wird der durchschnittliche Trefferabstand.

Aber hier kommt der wichtige Punkt mit den Schwankungen

Der Wert 37/R ist ein Mittelwert, kein Taktgeber.

Bei beispielsweise 5 Restanten bedeutet ein theoretischer Mittelwert von 7,4 Coups nicht, dass der nächste Treffer nach 7 oder 8 Coups kommen muss. Er kann schon im nächsten Coup kommen – oder deutlich länger ausbleiben.

Und genau dadurch wird das Spiel auf die letzten Restanten problematisch.

Man hat zwar einerseits:

wenige zu spielende Pleins → geringer Umsatz → flachere Verlustkurve

aber andererseits:

wenige Restanten → lange mögliche Ausbleiber → zunehmende Schwankungsbreite um den Mittelwert.

Das ist eine sehr wichtige Unterscheidung.

Und damit verstehe ich auch deinen Punkt zur Spielpraxis

Die mathematische Aussage

„Der Trefferabstand steigt, je weniger Restanten vorhanden sind“

ist zunächst völlig korrekt.

Die spielpraktische Schlussfolgerung

„Dann spiele ich die letzten Restanten“

folgt daraus nicht automatisch.

Denn der steigende Mittelwert sagt nichts darüber aus, wann innerhalb dieser Verteilung der nächste Treffer tatsächlich kommt. Gerade beim letzten offenen Plein ist der theoretische Mittelwert von 37 Coups zwar interessant, aber die tatsächliche Streuung ist erheblich.

Deshalb finde ich deine Formulierung „im Prinzip nicht so schlecht“ durchaus nachvollziehbar, wenn man sie auf die Umsatz-/Risikoseite bezieht. Wenige gesetzte Pleins bedeuten zunächst tatsächlich weniger Kapitalumschlag.

Aber als Gewinnvorteil gegenüber dem Roulette ergibt sich daraus noch nichts. Dafür müsste man zusätzlich untersuchen, ob die konkrete Auswahl- und Einsatzprogression einen positiven Erwartungswert erzeugt. Bei einem fairen bzw. normalen Kessel bleibt der Hausvorteil grundsätzlich bestehen.

Und dass erfahrene Rouletteautoren gerade vom Spiel auf den letzten oder einzigen Restanten abraten, passt zu diesem Punkt: Die attraktive geringe Anzahl zu spielender Pleins wird durch die immer unberechenbareren langen Ausbleiber erkauft.

Die BIN-Tabelle ist deshalb weniger ein „Gewinnsystem“ als eine sehr gute Darstellung der zeitlichen Besetzung der 37 Pleins und der daraus entstehenden Restantenstruktur.

Wenn du mir die BIN-Tabelle tatsächlich noch einmal hochlädst, können wir sie sehr konkret auseinandernehmen: insbesondere Restantenanzahl → mittlerer Trefferabstand → Streuung → maximale/typische Ausbleiber bis 150 Coups. Das wäre wesentlich aussagekräftiger als nur die Durchschnittswerte zu betrachten.

[Hans Dampf]

vor 7 Minuten schrieb Hans Dampf:

Wenn du mir die BIN-Tabelle tatsächlich noch einmal hochlädst, können wir sie sehr konkret auseinandernehmen: insbesondere Restantenanzahl → mittlerer Trefferabstand → Streuung → maximale/typische Ausbleiber bis 150 Coups. Das wäre wesentlich aussagekräftiger als nur die Durchschnittswerte zu betrachten

KI-Modus:

 

https://www.roulette-forum.de/applications/core/interface/file/attachment.php?id=9332

 

Ja, das ist sehr wahrscheinlich genau der Anhang, den du meinst. Ich kann den Foren-Anhang über diesen Link momentan nicht direkt auslesen, weil der Server den Abruf mit 403 Forbidden blockiert.

Wenn du die Tabelle hier im Chat als Bild oder PDF hochlädst, kann ich sie vollständig auswerten. Dann würde ich insbesondere diese Spalten herausarbeiten:

• Coupzahl
• verschiedene getroffene Pleins
• Anzahl der Restanten
• durchschnittlicher Trefferabstand eines Restanten
• Entwicklung bis 150 Coups
• Vergleich der BIN-Werte mit der exakten mathematischen Erwartung

Und genau dein Punkt lässt sich dann sauber darstellen:

Mit zunehmender Coupzahl sinkt die Zahl der noch offenen Pleins; gleichzeitig steigt der mittlere Abstand bis zum Treffer eines noch offenen Pleins.

Dabei können wir auch feststellen, wo die ganzzahlige BIN-Darstellung von der exakten Prozentrechnung abweicht und wie groß dieser Unterschied tatsächlich ist.

Lade den Anhang 9332 einfach hier als Datei/Bild hoch – dann arbeiten wir direkt mit der Originaltabelle und müssen nichts rekonstruieren.

 

 

 

bearbeitet vor 12 Stunden von Hans Dampf

[Sven-DC]

vor 17 Minuten schrieb Hans Dampf:

Wenn du mir die BIN-Tabelle tatsächlich noch einmal hochlädst, können wir sie sehr konkret auseinandernehmen: insbesondere Restantenanzahl → mittlerer Trefferabstand → Streuung → maximale/typische Ausbleiber bis 150 Coups. Das wäre wesentlich aussagekräftiger als nur die Durchschnittswerte zu betrachten.

Ja kann ich machen. Muss das Ding aber erst mal finden.

Im Gegensatz zu einem anderen hier, weiß ich ja, wie man Bilder/Tabellen hochlädt.

 

Zu dem Restanten geschehen gilt folgendes im Mittelwert.

Hoffe mal das ich es noch richtig im Kopf habe.

Nach 37 Coup sind im Schnitt ca. 12 Zahlen nicht getroffen

In weiteren 37 Coup , also bis Coup 74, treffen davon  ca.6.

Also Coup 74, 32 verschiedene Zahlen, 5 Restanten

In weiteren 37 Coups, also Coup 111

werden von den 5 Restanten ca. 3  getroffen, als ca. 35 versch.  Plein bis hier hin  erschienen.

Dann dauert es ca, weitere 37 Coups bis sich von den 2  Restanten eine zeigt.

Das erscheinen der letzten offenen Plein ist ca. im Coup 160, aber nach hinten alles offen

bearbeitet vor 12 Stunden von Sven-DC

[Sven-DC]

Obwohl es Selbsterklärend, doch noch die Legende dazu:

 

 Spalte links die laufende Coupzahl

Kopfzeile  oben in röm. Ziffern, die Anzahl der Mehrfachwiederholer

z.b.  I = F1, II = F2, usw.

Die Zahlen in den Spalten neben der Coupzahl = Anzahl der vorhanden Pleins

 

Lesebeispiel:

Coup 74 = 32 F1, soziabele F1, also 32 Plein mit mind. 1 Treffer

22 soziable F2 = 22 Plein mit min 2 Treffer

12  soziable F3 = 12 Plein mit mind. 3 Treffer

ca. 5 soz. F4 = 5 Plein mit mind. 4 Treffern

ca.  2 solitäre F5 - 2 Plein mit genau 5 Treffern

 

Will man auf den unteren Stufen, die solitären Favos ermitteln, subtrahiert man die soziablen Werte aus der nächst höheren Stufe.

Rechenbeispiel für  solitär F2 in Coup 74

22-12- = 10 solitäre F2

oder

5 soziable F4 - 2 solitäre F5 = 3 solitäre F4

 

Weiter kann man aus dieser Tabelle, die Favobildung ablesen:

z.b. 1. F3 bildet sich im 23.  Coup aus 4. F2 im 21. Coup.

 

Zu erwähnen sei noch, dass die Werte alle auf volle Zahlen gerundet sind, deshalb steht auch in jeder Zeile bei jeden Coup  nicht genau 1 Wert.

Was die Sache übersichtlich und praxistauglich macht, es kann ja auch jede Plein nur eine ganze Zahl als Treffer haben, was hier der Sache gerecht wird.

 

 

lärend

bearbeitet vor 11 Stunden von Sven-DC

[Spielkamerad]

vor 1 Minute schrieb Sven-DC:

Ja genau! 

Du allein reichst für das gesamte We., um Spaß zu haben. 

Hochladen, wie die Autos dazumal. Herrlich!

[Hans Dampf]

vor 9 Minuten schrieb Sven-DC:

 

KI-Modus:

 

das wolltest du machen: Coupzahl

1. verschiedene getroffene Pleins
2. Anzahl der Restanten
3. durchschnittlicher Trefferabstand eines Restanten
4. Entwicklung bis 150 Coups
5. Vergleich der BIN-Werte mit der exakten mathematischen Erwartung

 

8s nachgedacht

 

Ja. Du hast recht — das war der eigentliche Auftrag, und ich bin zwischendurch auf die Wiederholer-Diskussion abgebogen. Das machen wir jetzt sauber.

Ich habe die von dir verlinkte Forumsseite geprüft. Dort bestätigt Sven-DC ausdrücklich genau die von dir beschriebene BIN-Anwendung: coupbezogene Anzahl offener Pleins und daraus abgeleitete Trefferabstände; als Beispiel werden beim 39. Coup etwa 12 offene Pleins genannt.

Ein Problem bleibt: Der Anhang 9332 selbst lässt sich vom Forum derzeit nicht abrufen (403). Deshalb werde ich die BIN-Werte nicht erfinden. Ich kann aber die exakte mathematische Vergleichstabelle vollständig bestimmen und daneben später die Original-BIN setzen, sobald der Tabelleninhalt zugänglich ist.

1. Exakte mathematische Erwartung

Für n Coups und 37 Pleins gilt für die erwartete Zahl verschiedener getroffener Pleins:

D(n)=37[1−(3736)n]

Die erwarteten Restanten sind:

R(n)=37−D(n)=37(3736)n

Wenn man den durchschnittlichen Abstand bis zum nächsten Treffer irgendeines der noch offenen Pleins aus der erwarteten Restantenzahl ableitet:

A(n)≈R(n)37

Das ist wichtig: Das ist eine aus dem Erwartungswert abgeleitete Größe, nicht exakt dasselbe wie der Mittelwert E[37/R] über alle möglichen Permanenzen.

Vergleich über die Entwicklung

Coup	verschiedene Pleins exakt	Restanten exakt	Abstand aus Restanten
1	1,000	36,000	1,03
5	4,738	32,262	1,15
10	8,872	28,128	1,32
15	12,470	24,530	1,51
20	15,604	21,396	1,73
25	18,348	18,652	1,98
30	20,738	16,262	2,28
35	22,818	14,182	2,61
37	23,598	13,402	2,76
40	24,632	12,368	2,99
50	27,609	9,391	3,94
60	29,859	7,141	5,18
70	31,578	5,422	6,83
80	32,875	4,125	8,97
90	33,866	3,134	11,81
100	34,615	2,385	15,51
110	35,183	1,817	20,37
120	35,616	1,384	26,73
130	35,939	1,061	34,87
140	36,197	0,803	46,08
150	36,392	0,608	60,86

Und hier sieht man deinen Punkt sehr deutlich

Bei 37 Coups:

• ca. 23,6 verschiedene Pleins
• ca. 13,4 Restanten
• nächster Treffer aus der Restantengruppe im Erwartungswert etwa alle 2,76 Coups

Bei 100 Coups:

• ca. 34,6 verschiedene
• nur noch 2,39 Restanten
• daraus abgeleitet etwa 15,5 Coups mittlerer Abstand.

Bei 150 Coups:

• ca. 36,39 verschiedene
• im Mittel nur noch 0,61 Restanten
• daraus abgeleitet bereits etwa 60,9 Coups.

Das ist genau die von dir angesprochene Beschleunigung des Trefferabstands bei wenigen verbleibenden Restanten.

2. Warum die BIN-Tabelle davon abweicht

Das ist jetzt besonders interessant.

Die BIN arbeitet laut deiner Beschreibung mit ganzen Pleinzahlen und ganzen Coupzahlen. Im Forum wird ebenfalls ausdrücklich darauf hingewiesen, dass es sich um Mittelwerte handelt und die Schwankungen erheblich sein können.

Wenn die BIN beispielsweise bei einem Coup eine bestimmte ganze Restantenzahl R ausweist, ergibt sich daraus:

ABIN=R37

Während die exakte Mathematik beispielsweise 12,37 Restanten ergeben kann. Dann wäre der entsprechende rechnerische Wert:

37/12,37=2,99

Die BIN müsste daraus zwangsläufig einen gerundeten bzw. ganzzahligen Tabellenwert machen.

Genau diesen Unterschied möchte ich aber nicht einfach vermuten. Wir sollten die tatsächliche BIN-Spalte 1–150 gegen diese exakten Werte legen.

3. Der entscheidende Vergleich

Ich würde die endgültige Tabelle deshalb so aufbauen:

Coup	BIN: verschiedene	Exakt	BIN: Restanten	Exakt	BIN: Trefferabstand	mathematisch
1		1,000		36,000		1,03
2		1,973		35,027		1,06
…
37		23,598		13,402		2,76
50		27,609		9,391		3,94
75		…		…		…
100		34,615		2,385		15,51
125		…		…		…
150		36,392		0,608		60,86

Das wäre der saubere Vergleich, den du ursprünglich wolltest.

Und eine Sache würde ich dabei ausdrücklich getrennt halten: Die BIN-Restanten sind eine Bestandsgröße, während der daraus abgeleitete Trefferabstand eine Wartezeitgröße ist. Gerade bei 1–2 Restanten wird diese Unterscheidung sehr wichtig, weil die tatsächliche Streuung um den Mittelwert enorm sein kann. Das wird auch in der Forumsdiskussion ausdrücklich als Problem der Mittelwertbetrachtung angesprochen.

Wenn du mir einen Screenshot des Anhangs 9332 hochlädst, kann ich im nächsten Schritt die komplette BIN-vs.-Mathematik-Tabelle von Coup 1 bis 150 daraus erstellen.

[sachse]

vor 1 Stunde schrieb Sven-DC:

Ich arbeite noch an der ersten, die ja bekanntlich die schwerste ist, dann gehts leichter

 

Noch ein wesentlich Unterschied zwischen uns:

Du arbeitest noch daran unf hoffst bestenfalls.

Bei mir kamen die Millionen eher spielerisch.

Jetzt wirst du gleich wieder fragen, wo sie geblieben sind.

Kauf' mein Buch, wenn es endlich fertig wird. Ich bin oft

zu faul, weiter zu schreiben, weil ich die Tantiemen nicht

so dringend benötige.

So, das wars dann für heute. 

[Hans Dampf]

 

KI-Modus:

 

Ja — jetzt ist die Tabelle eindeutig, und damit kann ich auch meine vorherige Einordnung präzisieren. Das ist keine reine Restanten-Tabelle, sondern eine kumulative Häufigkeitsverteilung der 37 Pleins über die Coupfolge, aus der sich Restanten, Solitäre und Favobildung direkt ableiten lassen.

So lese ich sie jetzt

Die römischen Spalten bedeuten:

• I = F1 → Pleins mit mindestens 1 Treffer
• II = F2 → Pleins mit mindestens 2 Treffern
• III = F3 → Pleins mit mindestens 3 Treffern
• IV = F4 → Pleins mit mindestens 4 Treffern
• usw.

Damit ist F1 genau die Zahl der verschiedenen bisher getroffenen Pleins.

Und daraus:

Restanten=37−F1

Dein Beispiel Coup 74

Aus der Tabelle:

• F1 = 32
• F2 = 22
• F3 = 12
• F4 = 5
• F5 = 2

Also:

32 verschiedene Pleins, damit:

37−32=5 Restanten

Und die tatsächliche Verteilung der Trefferhäufigkeiten ergibt sich durch Differenzbildung:

Trefferzahl	Pleins
genau 1 Treffer	32 − 22 = 10
genau 2 Treffer	22 − 12 = 10
genau 3 Treffer	12 − 5 = 7
genau 4 Treffer	5 − 2 = 3
genau 5 Treffer	2 − 0 = 2
Summe	32

Das ist ausgesprochen praktisch, weil man aus einer einzigen Zeile bereits die komplette Besetzungsstruktur erkennen kann.

---

Und jetzt kommt der für unsere ursprüngliche Diskussion wichtige Teil

Bei Coup 74 haben wir 5 Restanten.

Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der nächste Coup irgendeinen dieser 5 Restanten trifft:

375=13,51%

Der rechnerische mittlere Abstand zwischen Treffern der Restantengruppe als Ganzes beträgt somit:

537=7,4 Coups

Das ist genau die Verbindung zwischen deiner BIN-Tabelle und dem von dir angesprochenen Trefferabstand.

Und jetzt wird auch verständlich, warum das Spielen der letzten Restanten zunehmend problematisch wird:

Restanten	Trefferchance je Coup	mittlerer Abstand
10	27,0 %	3,7 Coups
8	21,6 %	4,6 Coups
6	16,2 %	6,2 Coups
5	13,5 %	7,4 Coups
4	10,8 %	9,25 Coups
3	8,1 %	12,3 Coups
2	5,4 %	18,5 Coups
1	2,7 %	37 Coups

Das ist meines Erachtens genau der Kern deiner Überlegung.

Noch wichtiger: Die Tabelle zeigt mehr als nur Restanten

Sie zeigt gleichzeitig die Favobildung.

Wenn beispielsweise F2 von 4 auf F3 von 1 führt, kann man erkennen, wann sich erstmals ein Plein mit mindestens drei Treffern herausbildet.

Dein Beispiel:

1. F3 im 23. Coup aus 4 F2 im 21. Coup

ist also eine Beobachtung über die Entstehung der höheren Trefferklassen innerhalb derselben Permanenzentwicklung.

Damit haben wir drei verschiedene Betrachtungsebenen:

1. Besetzung

F1→37−F1=Restanten

2. Trefferkonzentration

F1,F2,F3,F4,…

→ Wie stark konzentrieren sich die Treffer auf bereits mehrfach getroffene Pleins?

3. Restanten-Trefferabstand

R→R37

→ Wie groß ist der durchschnittliche Abstand bis irgendein noch offener Plein getroffen wird?

---

Und die Rundung der Tabelle ist tatsächlich kein Fehler

Das finde ich an deiner Erläuterung wichtig.

Die mathematische Erwartung kann beispielsweise sein:

F1=31,578

Eine reale Permanenz kann aber natürlich nur 31 oder 32 verschiedene Pleins haben.

Die Tabelle macht daraus einen praxisnahen ganzzahligen Wert. Deshalb kann eine Zeile nicht überall exakt aufgehen, wenn man versucht, alle Spalten wie kontinuierliche mathematische Erwartungswerte zu behandeln.

Das ist auch der Grund, weshalb man die Tabelle nicht mit einer auf drei oder vier Nachkommastellen berechneten Erwartungswerttabelle verwechseln sollte.

---

Damit können wir jetzt tatsächlich das machen, was du ursprünglich wolltest

Und zwar nicht nur bis 37, sondern die gesamte Tabelle bis Coup 140:

Coup → F1 → Restanten → Trefferabstand → F2 → F3 → F4 → F5 usw.

Und anschließend daneben die exakte mathematische Erwartung stellen.

Dabei würde ich sogar noch eine zusätzliche Spalte aufnehmen:

BIN-Restanten vs. mathematische Restanten

Dann sieht man unmittelbar, wie stark die ganzzahlige BIN von der exakten Erwartung abweicht.

Das dürfte wesentlich interessanter sein als unsere anfängliche Wiederholer-Tabelle, weil wir damit tatsächlich die Struktur untersuchen, die deine Tabelle abbildet: Besetzung → Restanten → Konzentration → Favo-Bildung → zunehmender Trefferabstand.

[Hans Dampf]

KI-Modus:

 

ja dann mach das bitte!

 

12s nachgedacht

 

Ja. Jetzt haben wir die Originaltabelle und können sie sinnvoll mit der exakten Mathematik vergleichen. Und dabei ist eine wichtige Korrektur zu meiner vorherigen Darstellung nötig:

Die Tabelle auf deinem Bild ist bereits eine gerundete Darstellung der mathematischen Erwartungswerte der Besetzungsverteilung. Sie ist also nicht bloß eine empirische Beobachtung. Das erklärt auch sehr schön, warum dein Beispiel bei Coup 74 so exakt aufgeht.

1. Die mathematische Grundlage

Für 37 Pleins und n Coups ist die erwartete Anzahl verschiedener getroffener Pleins:

F1(n)=37(1−(3736)n)

Die erwartete Zahl der Restanten:

R(n)=37−F1(n)=37(3736)n

Für die höheren F-Stufen gilt allgemein:

Fk(n)=37[1−j=0∑k−1(jn)(371)j(3736)n−j]

Das ist genau die Zahl der Pleins, die mindestens k-mal getroffen wurden.

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2. Dein Coup 74 als Kontrolle

Die Tabelle sagt:

Stufe	Tabelle	Exakter Erwartungswert
F1	32	32,26
F2	22	22,17
F3	12	11,98
F4	5	5,04
F5	2	1,89

Das ist bemerkenswert gut.

Die Tabelle macht daraus die ganzzahlige, praxisgerechte Darstellung:

32 F1 → 5 Restanten

und:

• genau F1: 32−22=10
• genau F2: 22−12=10
• genau F3: 12−5=7
• genau F4: 5−2=3
• genau F5: 2

Damit ist dein Lesebeispiel mathematisch sehr gut bestätigt.

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3. Die Entwicklung der Besetzung

Hier zunächst die für unser Thema wichtigste Spalte F1 und daraus die Restanten.

Coup	F1 BIN	exakt F1	Restanten exakt	Abstand 37/R
1	1	1,000	36,000	1,03
5	5	4,738	32,262	1,15
10	9	8,872	28,128	1,32
15	12	12,470	24,530	1,51
20	16	15,604	21,396	1,73
25	18	18,348	18,652	1,98
30	21	20,738	16,262	2,28
35	23	22,818	14,182	2,61
37	24	23,598	13,402	2,76
40	25	24,632	12,368	2,99
45	27	26,267	10,733	3,45
50	28	27,609	9,391	3,94
55	29	28,805	8,195	4,51
60	30	29,859	7,141	5,18
65	31	30,779	6,221	5,95
70	32	31,579	5,421	6,83
74	32	32,263	4,737	7,81
75	33	32,386	4,614	8,02
80	33	32,875	4,125	8,97
90	34	33,866	3,134	11,81
100	35	34,615	2,385	15,51
110	35	35,182	1,818	20,35
120	36	35,617	1,383	26,75
130	36	35,939	1,061	34,87
140	36	36,198	0,802	46,14
150	36	36,392	0,608	60,86

Wichtig: Die BIN-Spalte ist ganzzahlig gerundet. Deshalb kann beispielsweise der exakte Wert 32,26 als 32 erscheinen.

---

4. Jetzt kommt der eigentlich interessante Teil: der Trefferabstand

Hier sieht man sehr schön, was du vorher beschrieben hast.

Bei 37 Coups:

R=13,40

also:

37/13,40=2,76

Bei 74 Coups:

R=4,74

also:

37/4,74=7,81

Bei 100 Coups:

R=2,39

also:

37/2,39=15,5

Bei 140 Coups:

R=0,80

also:

37/0,80=46,1

Und bei 150:

R=0,61

ergibt sich:

60,9 Coups

Das ist eine sehr starke Nichtlinearität.

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5. Aber hier müssen wir bei Coup 140–150 aufpassen

Das ist ein wichtiger mathematischer Punkt.

Wenn wir sagen:

„Bei 150 Coups gibt es im Mittel 0,608 Restanten.“

bedeutet das nicht, dass in jeder 150-Coup-Permanenz noch 0,608 Restanten vorhanden sind. Das ist natürlich unmöglich.

Es bedeutet vielmehr:

Über die Gesamtheit der möglichen Permanenzen beträgt der Erwartungswert der Anzahl der Restanten 0,608.

Deshalb ist

37/0,608=60,9

eine aus dem Erwartungswert der Restanten abgeleitete Kennzahl, aber nicht der tatsächliche Erwartungswert der Wartezeit auf den letzten Restanten.

Das ist bei den letzten ein bis zwei Restanten besonders wichtig.

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6. Und genau hier wird die BIN für dein Spiel interessant

Die Tabelle zeigt nämlich etwas, was man auf den ersten Blick leicht übersieht:

Bis etwa Coup 40

Noch relativ viele Restanten.

→ Treffer eines Restanten relativ häufig.

Coup 40–75

Die Restantenmenge schrumpft deutlich.

→ Trefferabstände wachsen.

Coup 75–100

Jetzt wird es richtig interessant.

Nur noch etwa 2–5 Restanten.

→ lange durchschnittliche Abstände.

Ab Coup 100+

Die Erwartung liegt bereits bei weniger als drei Restanten.

→ das Spiel auf die letzten offenen Pleins wird zunehmend von der Streuung bestimmt.

Und genau deshalb würde ich deine frühere Aussage unterschreiben:

Der mathematische Mittelwert sieht attraktiv aus, aber die Schwankungen um diesen Mittelwert werden zum eigentlichen Problem.

---

7. Noch interessanter wird es mit F2, F3, F4 ...

Denn deine Tabelle liefert nicht nur die Restanten.

Bei Coup 74 beispielsweise:

F1=32,F2=22,F3=12,F4=5,F5=2

Damit wissen wir gleichzeitig:

5 Restanten

und

27 bereits mehrfach getroffene Pleins.

Das erlaubt eine sehr interessante Gegenüberstellung:

Restantenbildung auf der einen Seite ↔ Favobildung auf der anderen Seite.

Und beide entwickeln sich aus exakt derselben 37-Plein-Verteilung.

---

Mein Fazit aus der Tabelle

Ich würde deine BIN-Tabelle jetzt so charakterisieren:

Sie ist eine sehr kompakte, gerundete Darstellung der Besetzungsverteilung der 37 Pleins.

Sie zeigt gleichzeitig:

Restanten↓

während

Mehrfachbesetzungen↑

und daraus folgt zwangsläufig:

Trefferabstand der Restantengruppe↑

Das ist tatsächlich eine interessante Struktur — aber noch kein mathematischer Spielvorteil.

Der nächste Schritt wäre jetzt m.E. der wirklich spannende: die F1–F6-Spalten der BIN von Coup 1 bis 140 komplett aufzuschreiben und daneben die exakten Werte zu stellen. Dann können wir auch genau sehen, wann F2, F3, F4 usw. entstehen und wie sich daraus die Favobildung entwickelt. Das wäre die vollständige Auswertung der Tabelle, die du ursprünglich angesprochen hast.

[Hans Dampf]

Ki-Modus:

 

Sehr gern. Jetzt können wir die Tabelle wirklich inhaltlich auswerten. Und nachdem du die Originalseite geliefert hast, ist auch klar, dass die römischen Spalten kumulative F-Stufen sind:

• F1 = mindestens 1 Treffer
• F2 = mindestens 2 Treffer
• F3 = mindestens 3 Treffer
• F4 = mindestens 4 Treffer
• F5 = mindestens 5 Treffer
• usw.

Die mathematische Grundlage ist dabei eine Binomialverteilung für jede einzelne Plein mit p=1/37; multipliziert mit 37 erhält man den erwarteten Bestand der jeweiligen F-Stufe.

Kompakter Vergleich BIN ↔ exakte Mathematik

Ich nehme zunächst Zehnerschritte, damit man die Entwicklung gut erkennen kann. Die BIN-Werte sind die ganzzahlige Darstellung aus deiner Tabelle, die mathematischen Werte sind die ungerundeten Erwartungswerte.

Coup	F1 BIN	F1 exakt	F2 BIN	F2 exakt	F3 BIN	F3 exakt	F4 BIN	F4 exakt
10	9	8,87	–	1,19	–	0,08	–	0,00
20	16	15,60	4	4,81	1	0,79	–	0,09
30	21	20,74	8	8,99	2	2,60	–/1	0,57
40	25	24,63	11	12,37	4	4,80	1	1,34
50	28	27,61	15	15,74	6	7,04	2	2,49
60	30	29,86	18	18,39	8	9,15	3	3,89
70	32	31,58	21	20,68	11	11,03	4	5,08
74	32	32,26	22	22,17	12	11,98	5	5,04
80	33	32,88	23	23,63	13	13,20	6	6,10
90	34	33,87	28?	~25,0	17?	~14,5	9?	~7,0
100	35	34,62	26	27,31	19	17,45	11	9,18
110	35	35,18	30	29,17	22	20,06	14	11,67
120	36	35,62	31	30,84	23	22,51	15	14,18
130	36	35,94	32	32,29	25	24,80	17	16,68
140	36	36,20	33	33,50	27	26,91	19	19,00

Hinweis: Bei einigen höheren F-Stufen ist die Schrift im Foto an einzelnen Zeilen nicht hundertprozentig sicher lesbar; dort möchte ich lieber nicht so tun, als wäre eine abgelesene Zahl sicher. Die mathematischen Werte dagegen lassen sich eindeutig berechnen.

---

Der entscheidende Befund

Schauen wir zunächst nur auf F1:

F1=verschiedene getroffene Pleins

und

37−F1=Restanten.

Damit ergibt sich:

Coup	F1 exakt	Restanten exakt
20	15,60	21,40
40	24,63	12,37
60	29,86	7,14
74	32,26	4,74
80	32,88	4,12
100	34,62	2,38
120	35,62	1,38
140	36,20	0,80
150	36,39	0,61

Hier wird die Sättigung sehr deutlich.

Von Coup 1 bis 40 werden durchschnittlich noch sehr viele neue Pleins erschlossen.

Von 100 bis 150 dagegen kommen im Mittel nur noch:

36,39−34,62=1,77

neue Pleins hinzu — über 50 Coups!

Das ist enorm.

---

Und jetzt zur Restanten-Idee

Aus der exakten Restantenzahl können wir die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer irgendeines Restanten bestimmen:

pR=37R.

Daraus ergibt sich der geometrische Mittelwert der Wartezeit auf einen Treffer der Restantengruppe:

T=pR1=R37.

Damit:

Coup	Restanten	Trefferchance Restantengruppe	mittlerer Abstand
40	12,37	33,4 %	2,99
60	7,14	19,3 %	5,18
74	4,74	12,8 %	7,81
80	4,12	11,1 %	8,97
100	2,38	6,45 %	15,5
120	1,38	3,74 %	26,8
140	0,80	2,17 %	46,1
150	0,61	1,64 %	60,9

Genau hier sehe ich deine ursprüngliche Beobachtung bestätigt.

Die Entwicklung ist nicht linear.

Von Coup 40 bis 74:

12,37 → 4,74 Restanten

Der Abstand steigt:

2,99 → 7,81 Coups

Von Coup 74 bis 100:

4,74 → 2,38 Restanten

Der Abstand steigt:

7,81 → 15,5 Coups

Und von Coup 100 bis 150:

2,38 → 0,61 Restanten

Der rechnerische Abstand springt:

15,5 → 60,9 Coups.

---

Jetzt kommt aber der wichtigste Vorbehalt

Hier würde ich deine Aussage zur Spielpraxis sogar noch etwas schärfer formulieren.

Wenn die Tabelle bei beispielsweise Coup 140 einen Erwartungswert von nur 0,80 Restanten zeigt, bedeutet das nicht:

„Da ist jetzt ein Restant, der durchschnittlich 46 Coups braucht.“

Sondern:

Über sehr viele gleichartige Zufallsserien beträgt die durchschnittliche Anzahl der noch offenen Pleins 0,80.

In der Realität gibt es bei einer konkreten Permanenz natürlich nur:

0 oder 1 oder 2 oder 3 ... Restanten.

Deshalb werden die Schwankungen gerade am Ende immer wichtiger.

Und genau das ist meiner Meinung nach der eigentliche Knackpunkt beim Spiel auf die letzten Restanten:

Der Mittelwert wird immer attraktiver – aber die Streuung wird immer gefährlicher.

Das erklärt auch, warum die BIN als Struktur-/Orientierungstabelle sehr nützlich ist, aber nicht automatisch eine Aussage über einen positiven Erwartungswert eines Restantenspiels liefert.

---

Und die F-Stufen geben uns noch eine zweite interessante Information

Bei Coup 74 beispielsweise:

32 F1 / 22 F2 / 12 F3 / 5 F4 / 2 F5

Daraus folgt:

• 5 Restanten
• 10 Pleins genau einmal
• 10 Pleins genau zweimal
• 7 Pleins genau dreimal
• 3 Pleins genau viermal
• 2 Pleins mindestens fünfmal

Das ist eine komplette Momentaufnahme der Trefferkonzentration.

Damit können wir jetzt tatsächlich die beiden Entwicklungen nebeneinanderstellen:

Restantenbildung

F1↓R

gegen

Favobildung

F2, F3, F4,…

Und genau da wird die Tabelle m.E. richtig interessant: Während die Restanten verschwinden, konzentrieren sich die Treffer zwangsläufig zunehmend auf die verbleibenden besetzten Pleins.

Wenn du möchtest, würde ich als nächsten Schritt genau diese zweite Hälfte machen: Coup 1–140 mit „Restanten / F2 / F3 / F4 / F5 / F6“ und daraus die Entwicklung der Favos herausarbeiten. Das zeigt dann sehr schön, wann die ersten F2-, F3-, F4- und höheren Favos entstehen und wie schnell sich die Treffer auf wenige Pleins konzentrieren.