Brandneu: Der Collatz-Countdown

[Thüringer]

Ich möchte den Sinn der "Formel von Wald"

erklären, wenn es darum zu zeigen geht, dass

es keine klassischen Systeme gibt, die über

mehrere Coups laufen.

Bei Wikipedia steht die Formel unter

http://de.wikipedia.org/wiki/Formel_von_Wald

Ich schreibe die Formel von Wald hier noch einmal hin

und gebe dann ein einfaches Beispiel.

E(X_1 + X_2 + ... + X_T)

= E(T) * E(X_1)

X_1 ist der Einsatz im einzelnen Coup,

T ist die Anzahl von Coups, die man macht

(diese Anzahl T kann eine zufällige Grösse sein).

E( ) sind jeweils die erwarteten/durchschnittlichen Größen.

Beispiel: Der Collatz-Countdown

(ein brandneues System, was zwar im Durchschnitt

nicht gewinnt, aber gut zum Erklären der Formel

von Wald taugt)

Der Spieler hat einen internen Zähler (z.B. im Kopf

oder auf Schmierzettel notiert):

Startwert: Zähler(0) = 99.

Coup 1: Setze eine Einheit auf die einfache Chance "19-36".

Nach dem Fallen der Kugel (auf Nr. x) ändere den Zähler wie folgt.

Zähler(1) = Zähler(0) + x, falls x < 19.

Zähler(1) = Zähler(0) - x, falls y >= 19.

Coup 2: Setze eine Einheit auf die einfache Chance "19-36".

Nach dem Fallen der Kugel (auf Nr. y) ändere den Zähler wie folgt.

Zähler(2) = Zähler(1) + y, falls x < 19.

Zähler(2) = Zähler(1) - y, falls y >= 19.

Mache immer so weiter. Stoppe, wenn zu irgendeinem

Zeitpunkt T der Zähler(T) auf 0 oder einen negativen Wert

gefallen ist.

(In einem Coup mit Kugel auf Null bleibt der Zähler

natürlich unverändert.)

*********************************

Beispielfolge:

Zähler(0)=99

Coup 1: 13

Zähler(1)= 112

Coup 2: 29

Zähler(2)= 83

Coup 3: 36

Zähler(3)= 47

Coup 4: 0

Zähler(4)= 47

Coup 5: 35

Zähler(5)= 12

Coup 6: 8

Zähler(6)= 20

Coup 7: 23

Zähler(7)= -3

STOPP

Insgesamt hat der Spieler in vier Coups gewonnen und in drei

Coups verloren. Er ist also am Ende mit 1 im Plus.

*********************************

Die durchschnittliche/erwartete Coupzahl E(T) bis zum Stopp ist endlich,

weil in den Fällen mit Abziehen im Durchschnitt 27,5 abgezogen

wird, in den Fällen mit Addieren im Durchscnitt aber nur

9,5 addiert wird. Beide Fälle sind gleichwahrscheinlich.

Den konkreten Wert E(T) kann man nicht so leicht berechnen,

er ist aber eine (endliche) Zahl grösser 0 (irgendwo in der Nähe

von 6).

In jedem Einzelcoup ist der erwartete Gewinn

E(X_1) = 18/37 * 1 + 19/37 * (-1) = - 1/37 < 0,

also negativ.

Damit ist auch das Produkt E(X_1)*E(T) negativ.

Das System wird im Durchschnitt verlieren.

Für kompliziertere Systeme braucht man entsprechende

Erweiterungen der Formel von Wald.

Thüringer

PS. Habe das System in Erinnerung an Prof. Dr. Lothar Collatz

benannt: zum einen wegen seines berühmten 3n+1-Problems

(dort geht auch ein Zähler auf lange Sicht gegen 0 bzw 1);

zum anderen aber auch wegen seiner eher unrühmlichen Rolle im

Hamburger Gerichtsprozess gegen Benno Winkel 1954, siehe

http://www.spiegel.de/spiegel/print/d-28957589.html

[Thüringer]

Ein Seitenaspekt zu Benno Winkel.

In dem Spiegelartikel von 1954 liest man

... Gewinnen ist ein Beruf

Eine Welle von Ausgelassenheit schwappte am Abend des 14. September durch den eleganten Salon des Hamburger Hotels "Atlantic", nachdem die Innenaufnahmen für das Filmlustspiel "Ingrid - die Geschichte eines Photomodells" fertiggedreht worden waren.

Ein Dutzend Filmgirls - Nachwuchsschauspielerinnen und Tänzerinnen - quirlte munter in den Sektgläsern, die immer wieder neu gefüllt wurden. Gastgeber war ein junger Krösus, der selbst gern Photomodell mimt. Er zog eine hübsche schwarzhaarige Statistin auf den Schoß und küßte, als Araberscheich verkleidet, dem 18jährigen portugiesischen Pin-up-Girl Hannita Hallan den linken Zeigefinger. Ein Bildreporter mußte in zweihundert Aufnahmen die neckischsten Posen festhalten...

Unter seinem spitzen Kinn kräuselt sich ein haariges Attribut, das er als "Assyrerbart" bezeichnet. Erst vor kurzer Zeit gab dieser Golden boy seinen schlichten bürgerlichen Namen Benno Eitel Winkel ...

Ein paar Jahre später wurde diese Spiegel-Beschreibung Vorlage für ein Video,

was Rene Kollo und die (Hamburger) Old Merrytale Jazz Band mit der

deutschen Version von "Hello Mary Lou" gedreht haben. Darin wickelt eine Tänzerin

einen Araber-Scheich (= Benno-Winkel-Verschnitt) um den Finger.

Den Benno-Winkel-Darsteller sieht man zuerst in 0m51s. Topszene ist dann

bei 1m47s, wo er seine Haremsdiener anweist, die Tänzerin zu schnappen.

bearbeitet März 20, 2012 von Thüringer

[K. Hornblau]

Ich möchte den Sinn der "Formel von Wald"

erklären, wenn es darum zu zeigen geht, dass

es keine klassischen Systeme gibt, die über

mehrere Coups laufen.

Hi Thüringer , Du willst damit sagen, daß es keine klassischen ( auch Stern seine postklassischen)

Systeme gibt, die mathematisch gesehen über mehrere Coups erfolgreich laufen können.?

Bei Wikipedia steht die Formel unter

http://de.wikipedia....Formel_von_Wald

Ich schreibe die Formel von Wald hier noch einmal hin

und gebe dann ein einfaches Beispiel.

E(X_1 + X_2 + ... + X_T)

= E(T) * E(X_1)

X_1 ist der Einsatz im einzelnen Coup,

T ist die Anzahl von Coups, die man macht

(diese Anzahl T kann eine zufällige Grösse sein).

E( ) sind jeweils die erwarteten/durchschnittlichen Größen.

Beispiel: Der Collatz-Countdown

(ein brandneues System, was zwar im Durchschnitt

nicht gewinnt, aber gut zum Erklären der Formel

von Wald taugt)

Der Spieler hat einen internen Zähler (z.B. im Kopf

oder auf Schmierzettel notiert):

Startwert: Zähler(0) = 99.

Coup 1: Setze eine Einheit auf die einfache Chance "19-36".

Nach dem Fallen der Kugel (auf Nr. x) ändere den Zähler wie folgt.

Zähler(1) = Zähler(0) + x, falls x < 19.

Zähler(1) = Zähler(0) - x, falls y >= 19.

Coup 2: Setze eine Einheit auf die einfache Chance "19-36".

Nach dem Fallen der Kugel (auf Nr. y) ändere den Zähler wie folgt.

Zähler(2) = Zähler(1) + y, falls x < 19.

Zähler(2) = Zähler(1) - y, falls y >= 19.

Mache immer so weiter. Stoppe, wenn zu irgendeinem

Zeitpunkt T der Zähler(T) auf 0 oder einen negativen Wert

gefallen ist.

(In einem Coup mit Kugel auf Null bleibt der Zähler

natürlich unverändert.)

*********************************

Beispielfolge:

Zähler(0)=99

Coup 1: 13

Zähler(1)= 112

Coup 2: 29

Zähler(2)= 83

Coup 3: 36

Zähler(3)= 47

Coup 4: 0

Zähler(4)= 47

Coup 5: 35

Zähler(5)= 12

Coup 6: 8

Zähler(6)= 20

Coup 7: 23

Zähler(7)= -3

STOPP

Insgesamt hat der Spieler in vier Coups gewonnen und in drei

Coups verloren. Er ist also am Ende mit 1 im Plus.

*********************************

Die durchschnittliche/erwartete Coupzahl E(T) bis zum Stopp ist endlich,

weil in den Fällen mit Abziehen im Durchschnitt 27,5 abgezogen

wird, in den Fällen mit Addieren im Durchscnitt aber nur

9,5 addiert wird. Beide Fälle sind gleichwahrscheinlich.

Den konkreten Wert E(T) kann man nicht so leicht berechnen,

er ist aber eine (endliche) Zahl grösser 0 (irgendwo in der Nähe

von 6).

In jedem Einzelcoup ist der erwartete Gewinn

E(X_1) = 18/37 * 1 + 19/37 * (-1) = - 1/37 < 0,

also negativ.

Damit ist auch das Produkt E(X_1)*E(T) negativ.

Das System wird im Durchschnitt verlieren.

Für kompliziertere Systeme braucht man entsprechende

Erweiterungen der Formel von Wald.

Thüringer

PS. Habe das System in Erinnerung an Prof. Dr. Lothar Collatz

benannt: zum einen wegen seines berühmten 3n+1-Problems

(dort geht auch ein Zähler auf lange Sicht gegen 0 bzw 1);

zum anderen aber auch wegen seiner eher unrühmlichen Rolle im

Hamburger Gerichtsprozess gegen Benno Winkel 1954, siehe

http://www.spiegel.d...d-28957589.html

[Thüringer]

Hi Thüringer , Du willst damit sagen, daß es keine klassischen ( auch Stern seine postklassischen)

Systeme gibt, die mathematisch gesehen über mehrere Coups erfolgreich laufen können.?

Ganz genau, immer bezogen auf die

durchschnittliche Auszahlung.

Die Anwendbarkeit der Formel von Wald endet da, wo Erwartungswerte oder

erwartete Laufzeiten unendlich werden. Das Beispiel ist die Martingale

(setze auf einfache Chance und verdoppele bis zum ersten Gewinn, dann STOPP).

Thüringer

[K. Hornblau]

Ein Seitenaspekt zu Benno Winkel.

In dem Spiegelartikel von 1954 liest man

Ein paar Jahre später wurde diese Spiegel-Beschreibung Vorlage für ein Video,

was Rene Kollo und die (Hamburger) Old Merrytale Jazz Band mit der

deutschen Version von "Hello Mary Lou" gedreht haben. Darin wickelt eine Tänzerin

einen Araber-Scheich (= Benno-Winkel-Verschnitt) um den Finger.

Den Benno-Winkel-Darsteller sieht man zuerst in 0m51s. Topszene ist dann

bei 1m47s, wo er seine Haremsdiener anweist, die Tänzerin zu schnappen.

Dieser Darsteller ist doch Rudolf Platte, so'n Scherzkeks.

K.H.

[Thüringer]

Dieser Darsteller ist doch Rudolf Platte, so'n Scherzkeks.

Oh, jetzt hab ich's erst geschnallt. Der Bursche rechts neben dem Scheich

ist Harald Juhnke. Unglaublich, in welchen Kesseln der alles gerührt hat.

Thüringer

[Stern]

(In einem Coup mit Kugel auf Null bleibt der Zähler

natürlich unverändert.)

Lieber Thüringer,

sehr fein, dass du hier die praktische Nutzanwendung der Walde'schen Formel demonstriert hast. Auch die Video-Erinnerung an "Mary Lou" ist sehr hübsch. Kannte ich noch nicht.

Die Formel als Schnell-Test für irgendwelche (erfolgversprechenden Ideen oder Systeme) sollte man unbedingt in das mathematische Rechen-Repertoire aufnehmen.

Allerdings scheinst du mir mit der Eleminierung der Zero bei den Einfache-Chancen (wie oben im Zitat) einen Lapsus begangen zu haben.

Auch bei den ECs ist natürlch die 37. Zahl Zero ein Minus, also <36. Mit anderen Worten: Nur für die Plein-Zahlen gilt die demonstrierte Herauf- oder Herabsetzung des Zählers. Für ECs muß jedoch stets mit einer 1 subtrahiert oder addiert werden. Bei der Tableauchance Dutzend oder Kolonne mit einer 2, bei Transversales Simples jeweils mit 6; usw.

Persönlich benutze ich eine andere Formel, um das Mindestmaß eines Efolgskriteriums (oder Mißerfolgskriteriums) in einer kurzen Prüfstrecke zu errechnen. Man muß ja - bei allgemeiner negativer Erwartung - empirisch den 1/37stel - Nachteil (oder 2/37stel - Nachteil bei Tronc-Abgabe) nicht nur auf Null gestellt haben, sondern einen echten Vorteil erzielen, der größer ist als der reglementierte Auszahlungsnachteil.

Ich prüfe dann, ob w = m/(36*37) gegeben ist. W= Wahrscheinlichkeit, m=Chancenwahl, Klammerprodukt (36*37).

Das bedeutet im Fall eines Spiels auf ECs, daß w= 18/(36*37) = 0,0135 gegeben sein muss. Dies Quote ist eine Prozentangabe: 1,35 Prozent. Um diese Prozente muss ein EC-Spiel mindestens besser sein als aufgrund der Laplace-Formel stochastisch zu erwarten ist. In einer Prüfstrecke von 100 Coups (besser noch: konsolidiert 1000) mußt du in der Treffer-Fehltrefferbilanz mindestens > 1,35 bzw. > 13,5 positive Abweichung erzielt haben.

Für KG-Spieler gilt dann (bei Kopf-Zahl und Nachbarn) w= 5/(36*37) = 0,0038. Bei einem 7er-Sektor müßte die Abweichung vom stochastischen Soll w = 7/(36*37) = 0,0053 sein. Hierdurch erfährt der typische Kesselgucker, ob er in einer Serie von 1000 Versuchen mindestens 3,8 (also 4) Treffer mehr erzielt, bzw. 5,25 (also 6), als ihm Laplace zubilligt.

Da der Käpt'n meinen Ausdruck "postklassisches" Spiel bereits verinnerlicht zu haben scheint (Glückwunsch!), möchte ich nur betonen, dass solche mathematischen Kriterien wie von Thüringer (und mir) verlangt zum Prüfgeschäft dazu gehören.

Freundlichst

Stern*

[nostradamus1500]

Wie kann man ES nennen?

die Mathematiker und Ihre Kesselgucker

oder

die Kesselgucker und Ihre Mathematiker

------

der saxe als geschenkverpackt, hab mich eh gewundert

der interessierte saxe trifft zu.

nostradamus1500

[Stern]

Wie kann man ES nennen?

die Mathematiker und Ihre Kesselgucker

Hallo Richard, man kann es zum Beispiel SCHACH spielen nennen.

Stern

[K. Hornblau]

Lieber Thüringer,

sehr fein, dass du hier die praktische Nutzanwendung der Walde'schen Formel demonstriert hast. Auch die Video-Erinnerung an "Mary Lou" ist sehr hübsch. Kannte ich noch nicht.

Die Formel als Schnell-Test für irgendwelche (erfolgversprechenden Ideen oder Systeme) sollte man unbedingt in das mathematische Rechen-Repertoire aufnehmen.

Allerdings scheinst du mir mit der Eleminierung der Zero bei den Einfache-Chancen (wie oben im Zitat) einen Lapsus begangen zu haben.

Auch bei den ECs ist natürlch die 37. Zahl Zero ein Minus, also <36. Mit anderen Worten: Nur für die Plein-Zahlen gilt die demonstrierte Herauf- oder Herabsetzung des Zählers. Für ECs muß jedoch stets mit einer 1 subtrahiert oder addiert werden. Bei der Tableauchance Dutzend oder Kolonne mit einer 2, bei Transversales Simples jeweils mit 6; usw.

Persönlich benutze ich eine andere Formel, um das Mindestmaß eines Efolgskriteriums (oder Mißerfolgskriteriums) in einer kurzen Prüfstrecke zu errechnen. Man muß ja - bei allgemeiner negativer Erwartung - empirisch den 1/37stel - Nachteil (oder 2/37stel - Nachteil bei Tronc-Abgabe) nicht nur auf Null gestellt haben, sondern einen echten Vorteil erzielen, der größer ist als der reglementierte Auszahlungsnachteil.

Ich prüfe dann, ob w = m/(36*37) gegeben ist. W= Wahrscheinlichkeit, m=Chancenwahl, Klammerprodukt (36*37).

Das bedeutet im Fall eines Spiels auf ECs, daß w= 18/(36*37) = 0,0135 gegeben sein muss. Dies Quote ist eine Prozentangabe: 1,35 Prozent. Um diese Prozente muss ein EC-Spiel mindestens besser sein als aufgrund der Laplace-Formel stochastisch zu erwarten ist. In einer Prüfstrecke von 100 Coups (besser noch: konsolidiert 1000) mußt du in der Treffer-Fehltrefferbilanz mindestens > 1,35 bzw. > 13,5 positive Abweichung erzielt haben.

Für KG-Spieler gilt dann (bei Kopf-Zahl und Nachbarn) w= 5/(36*37) = 0,0038. Bei einem 7er-Sektor müßte die Abweichung vom stochastischen Soll w = 7/(36*37) = 0,0053 sein. Hierdurch erfährt der typische Kesselgucker, ob er in einer Serie von 1000 Versuchen mindestens 3,8 (also 4) Treffer mehr erzielt, bzw. 5,25 (also 6), als ihm Laplace zubilligt.

Da der Käpt'n meinen Ausdruck "postklassisches" Spiel bereits verinnerlicht zu haben scheint (Glückwunsch!), möchte ich nur betonen, dass solche mathematischen Kriterien wie von Thüringer (und mir) verlangt zum Prüfgeschäft dazu gehören.

Freundlichst

Stern*

Ja Sternchen, eine neue Roulette aktuelle Wortschöpfung von Dir, die noch fehlte.

Mit dem Nennen dieses Begriffes sind wir sofort sehr kompetent, wenn dann auch

noch Neuronale Netze zur Lösung des Rouletteproblems zitiert werden,

fällt evtl. sogar ein "Sachse" um und ließe sich bekehren, lol.

Gruss K.H.

bearbeitet März 20, 2012 von K. Hornblau

[4-4Zack]

Hallo Richard, man kann es zum Beispiel SCHACH spielen nennen.

Stern

Schachspielen must du aber genauso lernen so groß ist der Unterschied garnicht man lauert auf den richtigen Moment.

beim Schachspiel ist die Chance leichter zu erkennen wenn man Schach spielen kann. Fast wie beim Roulette nur das Glück

spielt eine geringere Rolle.

[Stern]

[...], wenn dann auch noch Neuronale Netze zur Lösung des Rouletteproblems zitiert werden,

fällt evtl. sogar ein "Sachse" um und ließe sich bekehren, lol.

Danke für den Zuspruch. Der Sachse braucht sich nicht 'bekehren' zu lassen; er hat ja seinen Mathe-Coach in der Person von Thüringer. Muss immer alles hier im Forum auf Sachse zulaufen? Die KGler bilden eine offene Bruderschaft, man kennt sich oder hat wenigstens voneinander gehört. Die Post-Klassiker dagegen müssen verschwiegene Individuen bleiben, ohne Netzwerk. Deshalb haben sie hier im Forum keine Spielwiese und wollen das auch gar nicht; manche geben sich zu erkennen und ernten in der Regel wütende Proteste, mit Argumenten wie der Formel von Wald usw. Die Formeln und die Mathematik sind korrekt. Aber sie verbieten ja nicht, dass weiterhin experimentiert werden darf. Als ob über der Roulette-Szene ein Voodoo-Fluch des prinzipiellen Scheiterns hinge.

Verstehen wir uns?

Stern

[sachse]

Als ob über der Roulette-Szene ein Voodoo-Fluch des prinzipiellen Scheiterns hinge.

Stern

Konjunktiv trifft es nicht.

Kategorischer Imperativ:

Kein Voodoo aber prinzipielles Scheitern ist der Fluch!

.

[Thüringer]

Mensch, Sternenkind,

du siehst das zu eng. Versuch doch mal, über den Kesselrand

zu gucken, egal von welcher Seite aus.

... Die KGler bilden eine offene Bruderschaft, man kennt sich ...

Das liest sich toll, stimmt aber so nicht.

(i) "Offen" sind die Jungs nicht. Aus denen kriegt man kein Fitzelchen

Technikwissen raus. Jeder hat seinen Geheimkeller, und zu dem hat

im allgemeinen nicht mal die eigene Frau einen Schlüssel.

(ii) Und "Bruder"schaft stimmt nur in soweit, als Frauen von der Anatomie her schon

nicht kesselgucken können. Die lassen sich viel zu sehr von Sachen

ausserhalb des Kessels ablenken.

Thüringer (nicht ganz ernst: muss jetzt bald den Koffer packen für sein

nächstes Logentreffen)

[nico1]

Konjunktiv trifft es nicht.

Kategorischer Imperativ:

Kein Voodoo aber prinzipielles Scheitern ist der Fluch!

.

:eii:

[Stern]

Konjunktiv trifft es nicht.

Kategorischer Imperativ:

Kein Voodoo aber prinzipielles Scheitern ist der Fluch!

.

Du machst mir Spaß! Habe schon damit gerechnet, dass du ein knackiges Stichwort rhetorisch umbiegst. Kategorischer Imperativ! Vom Selfmade-KG persönlich! Seit einiger Zeit liiert mit seinem Ministranten Thüringer, der damit als neutraler mathematischer Ratgeber ausgespielt hat, jedenfalls in meinen Augen - SCHADE.

Bleibt locker, Brüder. Gegen einen Fluch ist der geschützt, der den Gegenzauber kennt.

Stern

[4-4Zack]

Du machst mir Spaß! Habe schon damit gerechnet, dass du ein knackiges Stichwort rhetorisch umbiegst. Kategorischer Imperativ! Vom Selfmade-KG persönlich! Seit einiger Zeit liiert mit seinem Ministranten Thüringer, der damit als neutraler mathematischer Ratgeber ausgespielt hat, jedenfalls in meinen Augen - SCHADE.

Bleibt locker, Brüder. Gegen einen Fluch ist der geschützt, der den Gegenzauber kennt.

Stern

Bleibt locker, Brüder. Gegen einen Fluch ist der geschützt, der den Gegenzauber kennt. :hut: :drink2:

[sachse]

Du machst mir Spaß! Habe schon damit gerechnet, dass du ein knackiges Stichwort rhetorisch umbiegst. Kategorischer Imperativ! Vom Selfmade-KG persönlich! Seit einiger Zeit liiert mit seinem Ministranten Thüringer, der damit als neutraler mathematischer Ratgeber ausgespielt hat, jedenfalls in meinen Augen - SCHADE.

Bleibt locker, Brüder. Gegen einen Fluch ist der geschützt, der den Gegenzauber kennt.

Stern

Musste soeben meine Meinung dich betreffend revidieren.

Wieder einer mehr, der das Wesentliche nicht begriffen hat.

.

[Nordwest]

der damit als neutraler mathematischer Ratgeber ausgespielt hat, jedenfalls in meinen Augen - SCHADE.

Stern

Ist er denn als ein solcher hier aufgetreten oder ist ihm diese Rolle von Dir zugedacht worden?

[Stern]

Musste soeben meine Meinung dich betreffend revidieren.

Wieder einer mehr, der das Wesentliche nicht begriffen hat.

.

Und? Was ist "das Wesentliche"?

stern

[aural]

der damit als neutraler mathematischer Ratgeber ausgespielt hat, jedenfalls in meinen Augen - SCHADE.

warum? weil er nicht das sagt, was du gern hören willst? du solltest in die politik gehen. da will man die meinung von wissenschaftlern auch nur dann hören, wenns ins parteiprogramm passt.

[Stern]

warum? weil er nicht das sagt, was du gern hören willst?

Ach, guck - der aural. Der Hohepriester des Voodoo-Fluchs. Grüß dich. Und nun? Was möchtest du zu Gehör bringen, als Beitrag zum "Wesentlichen"? Und nicht gleich biestig werden: In der Politik war ich schon!

stern

[Antipodus]

Ach, guck - der aural. Der Hohepriester des Voodoo-Fluchs. Grüß dich. Und nun? Was möchtest du zu Gehör bringen, als Beitrag zum "Wesentlichen"? Und nicht gleich biestig werden: In der Politik war ich schon!

stern

Hallo Stern, da kämpfst du hier gegen ein Dogma. Mit der Begründung, dass es kein Perpetuum mobile gibt, kann man auch nicht im Roulette mit der negativen Gewinnerwartung gewinnen. Dabei gibt es das Perpetuum mobile schon lange, die nickende Ente. Durch die Kapilarwirkung wird sie kopflastig, kippt dann nach vorn, das hochgestiegene Wasser fließt ab und sie richtet sich wieder auf, pausenlos. Die Natur hat`s vorgemacht, bei Mammutbäumen steigt so das Wasser bis zu 100m hoch. Lasse dich also nicht beirren.

[aural]

In der Politik war ich schon!

na glückwunsch, dass du den absprung geschafft hast.

[Antipodus]

Ganz genau, immer bezogen auf die

durchschnittliche Auszahlung.

Die Anwendbarkeit der Formel von Wald endet da, wo Erwartungswerte oder

erwartete Laufzeiten unendlich werden. Das Beispiel ist die Martingale

(setze auf einfache Chance und verdoppele bis zum ersten Gewinn, dann STOPP).

Thüringer

Ganz genau, immer bezogen auf die

durchschnittliche Auszahlung.

Die Anwendbarkeit der Formel von Wald endet da, wo Erwartungswerte oder

erwartete Laufzeiten unendlich werden. Das Beispiel ist die Martingale

(setze auf einfache Chance und verdoppele bis zum ersten Gewinn, dann STOPP).

Thüringer

Hallo Professor und was sagt die Formel von Wald zum Gesetz der Serie, hebt sie das auf ?