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Ich möchte den Sinn der "Formel von Wald" erklären, wenn es darum zu zeigen geht, dass es keine klassischen Systeme gibt, die über mehrere Coups laufen. Bei Wikipedia steht die Formel unter http://de.wikipedia.org/wiki/Formel_von_Wald Ich schreibe die Formel von Wald hier noch einmal hin und gebe dann ein einfaches Beispiel. E(X_1 + X_2 + ... + X_T) = E(T) * E(X_1) X_1 ist der Einsatz im einzelnen Coup, T ist die Anzahl von Coups, die man macht (diese Anzahl T kann eine zufällige Grösse sein). E( ) sind jeweils die erwarteten/durchschnittlichen Größen. Beispiel: Der Collatz-Countdown (ein brandneues System, was zwar im Durchschnitt nicht gewinnt, aber gut zum Erklären der Formel von Wald taugt) Der Spieler hat einen internen Zähler (z.B. im Kopf oder auf Schmierzettel notiert): Startwert: Zähler(0) = 99. Coup 1: Setze eine Einheit auf die einfache Chance "19-36". Nach dem Fallen der Kugel (auf Nr. x) ändere den Zähler wie folgt. Zähler(1) = Zähler(0) + x, falls x < 19. Zähler(1) = Zähler(0) - x, falls y >= 19. Coup 2: Setze eine Einheit auf die einfache Chance "19-36". Nach dem Fallen der Kugel (auf Nr. y) ändere den Zähler wie folgt. Zähler(2) = Zähler(1) + y, falls x < 19. Zähler(2) = Zähler(1) - y, falls y >= 19. Mache immer so weiter. Stoppe, wenn zu irgendeinem Zeitpunkt T der Zähler(T) auf 0 oder einen negativen Wert gefallen ist. (In einem Coup mit Kugel auf Null bleibt der Zähler natürlich unverändert.) ********************************* Beispielfolge: Zähler(0)=99 Coup 1: 13 Zähler(1)= 112 Coup 2: 29 Zähler(2)= 83 Coup 3: 36 Zähler(3)= 47 Coup 4: 0 Zähler(4)= 47 Coup 5: 35 Zähler(5)= 12 Coup 6: 8 Zähler(6)= 20 Coup 7: 23 Zähler(7)= -3 STOPP Insgesamt hat der Spieler in vier Coups gewonnen und in drei Coups verloren. Er ist also am Ende mit 1 im Plus. ********************************* Die durchschnittliche/erwartete Coupzahl E(T) bis zum Stopp ist endlich, weil in den Fällen mit Abziehen im Durchschnitt 27,5 abgezogen wird, in den Fällen mit Addieren im Durchscnitt aber nur 9,5 addiert wird. Beide Fälle sind gleichwahrscheinlich. Den konkreten Wert E(T) kann man nicht so leicht berechnen, er ist aber eine (endliche) Zahl grösser 0 (irgendwo in der Nähe von 6). In jedem Einzelcoup ist der erwartete Gewinn E(X_1) = 18/37 * 1 + 19/37 * (-1) = - 1/37 < 0, also negativ. Damit ist auch das Produkt E(X_1)*E(T) negativ. Das System wird im Durchschnitt verlieren. Für kompliziertere Systeme braucht man entsprechende Erweiterungen der Formel von Wald. Thüringer PS. Habe das System in Erinnerung an Prof. Dr. Lothar Collatz benannt: zum einen wegen seines berühmten 3n+1-Problems (dort geht auch ein Zähler auf lange Sicht gegen 0 bzw 1); zum anderen aber auch wegen seiner eher unrühmlichen Rolle im Hamburger Gerichtsprozess gegen Benno Winkel 1954, siehe http://www.spiegel.de/spiegel/print/d-28957589.html