Roulette-Mathematik

[Frameboy]

So meine Paroli und Roulettefreunde

Da Optimierers gut gelungener Thread zu Wahrscheinlichkeiten, Abweichungen usw weit vergraben ist, dachte ich mir ich lasse ihn hier wieder aufleben und möchte nun einiges erklären und weiterführend hoffe auch ich bei einigen Fragen meinerseits auch auf eine Antwort...

Vermehrt häufen sich Fragen im Forum über die gute, alte Mathematik...lasst uns das ganze mal ganz easy angehen

Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit ist immer eine Zahl zwischen 0 und 1, einschließlich der äußeren Grenzen 0 und 1. Also genau Null oder Null Komma irgendwas oder genau Eins.

0 bedeutet unmöglich (0% aller Fälle, d.h. es passiert nie) und 1 bedeuet sicher (100% aller Fälle, d.h. es passiert immer). Alles andere liegt eben dazwischen.

Zum Ausrechnen teilt man einfach die Anzahl der günstigen Möglichkeiten für die Chance durch die Gesamtzahl an Möglichkeiten.

Beispiel für das Erscheinen des ersten Dutzends:

Es gibt 12 günstige Möglichkeiten – weil 12 Zahlen im Dutzend – von 37 insgesamt.

Berechnung also: 12 geteilt durch 37 bzw. 12/37 (sprich: zwölf siebenunddreißigstel).

Das ergibt 0,324 als W'keit dafür, dass das erste Dutzend erscheint; zum Glück gibt's ja Taschenrechner .

Will man die W'keit in Prozent angeben, dann muss man nur noch das Komma um zwei Stellen nach rechts verschieben: 0,324 (von 1) entspricht 32,4% (von 100%).

Für so eine W'keit schreibt man üblicherweise den Buchstaben p (für engl. probability = Wahrscheinlichkeit).

Unser Dutzend erscheint also mit der W'keit p=0,324 (sprich: p ist 0,324) oder 32,4% nach der Kommaverschiebung für die Prozente.

Für eine EC z.B. gilt dann p=18/37 (sprich: W'keit ist 18 geteilt durch 37, weil eine EC eben 18 Zahlen hat von allen 37, ist klar), und das ergibt 0.486 oder halt 48,6%.

Die allgemeine Rechenvorschrift heißt Laplace-Formel (nach dem frz. Mathematiker Laplace), sie lautet also:

p = Anzahl der günstigen Möglichkeiten / Anzahl aller Möglichkeiten

Nach diesem Muster kann man für jede denkbare Chance die W'keit ausrechnen .

Gegenwahrscheinlichkeit

Die Gegenwahrscheinlichkeit ist die W'keit, dass eine Chance nicht erscheint.

Das ist einfach der Rest zwischen der W'keit und 1.

Zum Ausrechnen zieht man nur die W'keit für's Erscheinen der Cance von 1 ab, oder wenn es Prozente sind, eben von 100%.

Die allgemeine Rechenvorschrift ist also 1 - p (sprich: eins minus p, auch bekannt als "eins weniger p", also 1 minus die W'keit).

Beispiel für das Nichterscheinen des ersten Dutzends:

1 - 0,324 = 0,676 (bzw. 67,6%), oder direkt in Prozent: 100% - 32,4% = 67,6%.

Für so eine Gegenw'keit schreibt man üblicherweise den Buchstaben q (weil in Mathe gerne aufeinanderfolgende Buchstaben für ähnliche Sachen verwendet werden).

Unser Dutzend erscheint also mit der Gegenw'keit q=1- 0,324 nicht, was eben 0,676 ergibt bzw. 67,6% nach der Kommaverschiebung für die Prozente.

Man kann das auch als W'keit für die beiden anderen Dutzende mitsamt Zero auffassen: Die W'keit dafür ist ja, wie oben gezeigt, 25/37 = 0,676 (denn die beiden anderen Dz haben zusammen 24 günstige Möglichkeiten und noch eine für Zero macht 25, von insgesamt 37).

Nach diesem Muster kann man für für jede denkbare Chance auch die Gegenw'keit ausrechnen .

Erwartungswert

Der Erwartungswert ist die Anzahl Erscheinungen einer Chance, die sich (in der Regel) bei oftmaligem Werfen der Kugel als Mittelwert ergibt.

Zum Ausrechnen nimmt man einfach die Anzahl aller Würfe (Coups) mal die W'keit der Chance.

Beispiel für das erste Dutzend in 100 Coups:

100 * 0,324 = 32,4 Erscheinungen sind in 100 Coups zu erwarten (d.h. natürlich praktisch 32 oder 33 Erscheinungen), in 1000 Coups wären es dann dann 324 Erscheinungen, usw.

Für die Anzahl der Versuche (oder Würfe, Coups) schreibt man üblicherweise den Buchstaben n (vermutlich für engl. number = Zahl).

Für den Erwartungswert selber schreibt man meistens den griechischen Buchstaben μ (sprich: Mü, entspricht unserem m für Mittelwert).

Man kann auch einfach ein E nehmen (für Erwartungswert).

Die allgemeine Rechenvorschrift ist also E = n * p (sprich: Erwartungswert ist n mal p), d.h. Anzahl der Würfe mal W'keit der Chance.

Nach diesem Muster kann man für jede Anzahl Coups den Erwartungswert ausrechnen, d.h. wie oft eine Chance durchschnittlich erscheint in soundsoviel Würfen.

Standardabweichung

Die Standardabweichung ist also die Abweichung vom Erwartungswert nach oben (=mehr Erscheinungen) oder nach unten (=weniger Erscheinungen), die sich normalerweise ergibt, wenn der Zufall regiert.

Für die Standardabweichung schreibt man üblicherweise den griechischen Buchstaben σ (sprich: Sigma, entspricht unserem s für Standardabweichung).

Man kann auch einfach ein S nehmen (für Standardabweichung).

In englischen Texten findet man oft die Bezeichnung SD (für engl. Standard Deviation = Standardabweichung)

Zum Ausrechnen nimmt man erst den Erwartungswert mal Gegenwahrscheinlichkeit der Chance, und zieht dann noch die Quadratwurzel daraus.

Die allgemeine Rechenvorschrift ist also: S = √ (E * q) (sprich: Standardabweichung ist die Wurzel aus Erwartungswert mal Gegenw'keit)

Das Zeichen √ bedeutet Wurzel ziehen. Die meisten Taschenrechner haben dafür eine extra [√]-Taste¹⁾.

Die Klammern bedeuten nur, dass man zuerst E * q ausrechnen soll – davon dann die Wurzel.

Beispiel für das erste Dutzend in 100 Coups

Die Gegenw'keit (1 - W'keit für das Dutzend) haben wir oben bereits berechnet zu 0,676

und auch den Erwartungswert (100 * W'keit): 32,4 Erscheinungen sind in 100 Coups zu erwarten (d.h. natürlich praktisch 32 oder 33 Erscheinungen)

Für die Standardabweichung rechnen wir also einfach 32,4 * 0,676 = 21,9 und ziehen dann noch die Wurzel daraus:

√ 21,9 = 4,68 Erscheinungen mehr oder weniger als erwartet sind standardmäßig normal²⁾ (d.h. natürlich praktisch +/-5 Erscheinungen).

In 100 Coups ercsheint unser erstes Dutzend also normalerweise zwischen 32,4 – 4,68 = 27.72 mal und 32,4 + 4,68 = 37,08 mal.

In der Praxis also ca. 27 bis 37 mal. Das liegt dann innerhalb der normalen Standardabweichung.

Nach diesem Muster kann man für jede Chance die Standardabweichung ausrechnen

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¹⁾ Falls nicht, kann man die Wurzel auch mit der [x^y]-Taste berechnen:

Erst E * q ausrechnen und dann [x^y] – 0,5 [=] eingeben.

Das funktioniert, weil x^-0,5 dasselbe ist wie √x (x sei irgend eine Zahl).

²⁾ Wer's genau wissen will:

Beim Wurzelziehen ist es so, dass das es eigentlich zwei Ergebnisse gibt, eins mit positivem Vorzeichen und eins mit negativem.

√4 z.B. ist sowohl 2 als auch -2, weil 2 * 2 = 4 ist und -2 * -2 ebenfalls.

Die Quadratwurzel irgendeiner Zahl x ergibt ja mit sich selbst multipliziert genau x, und solche gibt es eben zwei.

Weil die Standardabweichung auch so eine Wurzel ist, also zwei Werte hat, kann man ihren Betrag zum Erwartungswert sowohl dazuzählen (+Sigma) als auch abziehen (-Sigma), was dann eben die Grenzen links und rechts vom Erwartungswert ergibt, die in der Grafik dargestellt sind (im nächsten Beitrag).

Fortsetzung folgt...

Mehrfache Standardabweichung

Die Bedeutung der Standardabweichung kann man am besten anhand einer Grafik erkennen:

Die Kurve zeigt die sogenannte Normalverteilung¹⁾ – wer will, kann auch einen Busen darin sehen .

Je weiter oben ein Punkt auf der Kurve liegt (abzulesen an der senkrechten Achse), umso häufiger ergibt sich in der Praxis die entsprechende Anzahl Erscheinungen (abzulesen an der waagerechten Achse). Wie man unschwer erkennt, liegt der Kurvenpunkt des Erwartungswerts am höchsten; es ergibt sich also sehr oft eine Anzahl Erscheinungen in der Nähe des Erwartungswerts.

Der grün unterlegte Bereich der Kurve ist der Bereich der Standardabweichung.

Er umfasst 68,3% der gesamten Fläche unterhalb der Kurve. In 68,3% der Fälle bewegt sich also die tatsächlich beobachtete Anzahl der Erscheinungungen in der Umgebung des berechneten Erwartungswerts, plus/minus Standardabweichung eben.

Das reicht für eine grobe Schätzung, aber der Zufall ist frei wie ein Vogel und hält sich im Rest der Fälle nicht an diese Grenzen .

Der Rest ist natürlich 100% - 68,3%, und das sind 31,7% aller Fälle, was immerhin fast ein Drittel ist.

In diesen Fällen liegt die tatsächlich beobachtete Anzahl Erscheinungen also links oder rechts des grünen Bereichs auf der Kurve.

Die Kurve ist dort schon relativ flach, was eben anzeigt, dass sowas seltener vorkommt.

Fortsetzung folgt...

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¹⁾ Beim Roulette ergibt sich in Wahrheit keine Normalverteilung, sondern eine sogenannte Binominalverteilung.

Dabei ist die Kurve je nach Chance mehr oder weniger schief, d.h. auf einer Seite steiler als auf der anderen, vergleichbar mit einem echten Busen.

Der Unterschied macht sich aber kaum bemerkbar und verschwindet mit steigender Anzahl Versuche.

So wie berechnet man nun, in welchem Sigmabereich sich ein Ereignis befindet?

Dazu eine kompliziert aussehende Formel, ist sie aber eigentlich garnicht

Sigma= (AnzahlErscheinungen - (Coups * p)) / √(Coups * p * q)

Wollen wir nun wissen, in welchem Sigmabereich wir uns befinden, wenn zum Beispiel auf 70 Coups nur 1 Treffer auf einer TvS verbuchen können, sähe das wie folgt aus:

(1-(70*6/37))/√(70*6/37*31/37)

1 : Anzahl der Erscheinungen

70 : Anzahl der Coups

6/37 : Wahrscheinlichkeit für die TvS (6 Zahlen)

31/37 : Gegenwahrscheinlichkeit

= -3,35 Sigma.

Wozu ist dies nun garnicht so unwichtig zu kennen?

Roulette funktioniert mathematisch definiert. Dementsprechend verläuft ein gewisser prozentualer Satz der Abweichungen in einem gewissen Sigmabereich.

Sieht wie folgt aus:

Faule Sau! :-) Das beachten wir mal nicht weiter

Wikipedia für Sigma 1 bis Sigma 3:

Im Intervall der Abweichung vom Mittelwert sind 68,27 % aller Messwerte zu finden,(Sigma 1)

Im Intervall der Abweichung vom Mittelwert sind 95,45 % aller Messwerte zu finden,(Sigma 1+2)

Im Intervall der Abweichung vom Mittelwert sind 99,73 % aller Messwerte zu finden.(Sigma 1+2+3)

So wir sehen zu 99,73% befinden wir uns im Roulette immer im 3 Sigma-Bereich, das heißt diesen Bereich sollte man grundsätzlich überstehen können mit seinen Spielweisen

So nun ist mein Latein auch so ziemlich am Ende Aber dafür gibt es hier ja genügend schlaue Köpfe, die bestimmt gerne bereit sind, weiterzuhelfen

Meine ersten Fragen:

1. Wie errechne ich zum Beispiel, wennn ich wissen will, mit welcher Wahrscheinlichkeit etwas platzt?

---> Wie viele Rotationen a xxxCoups es bräuchte, um 1 mal den Platzer zu erwischen.

2.Wie errechne ich eine Trefferwahrscheinlichkeit auf xxx Coups in Prozenten? Oder wie Wahrscheinlich ist es, auf XXX Coups 2-3-4 Treffer zu erzielen usw...

Fragen anderer oder selbstständige Erläuterungen sind natürlich sehr gerne gesehen

Kriegen das Ding hier schon geschaukelt, so schwer ist die Mathematik doch garnicht

Gruß Frameboy

[nico1]

mathematik beweist, dass es keine unendlichkeit gibt. irgendwo am rande des gekannten universums ist also ende. derartiges formelwerk kann höchstens als hilfsmittel verwendet werden, ob es zum erfolg führt ist dahingestellt.

[Frameboy]

mathematik beweist, dass es keine unendlichkeit gibt. irgendwo am rande des gekannten universums ist also ende. derartiges formelwerk kann höchstens als hilfsmittel verwendet werden, ob es zum erfolg führt ist dahingestellt.

Ja cool ich will es trotzdem alles können...also weiter im Thema

[Antipodus]

mathematik beweist, dass es keine unendlichkeit gibt. irgendwo am rande des gekannten universums ist also ende. derartiges formelwerk kann höchstens als hilfsmittel verwendet werden, ob es zum erfolg führt ist dahingestellt.

Einen größeren Blödsinn habe ich in diesem Zusammenhang hier noch nicht gelesen. Wahrscheinlich bist du Physikstudent und zitierst hier nur die Meinung deines Professors, der sich streng an die Lehrmeinung halten muss, sonst wäre er nämlich "weg vom Fenster". Einzig die Mathematik widerlegt euren Quatsch, den ihr uns weis machen wollt. Seit wann kennen wir den Rand des Universums? Mit jeder neuen Erfindung können wir weiter ins All sehen und es ist kein Ende abzusehen und wo beweist die Mathematik, dass es keine Unendlichkeit gibt? Es gibt kein Ende im Nichts, wo sollte das sein, im absoluten Obernichts? Es mag sein, dass der Raum in dem sich Galaxien befinden irgendwo endet, aber das wäre reine Spekulation. Der Raum in dem sich etwas befinden könnte, kann nicht enden.