5 Antworten in diesem Thema

[Valentin]

rrondos Paradox: Wer zweimal verliert, gewinnt

Parrondos Paradox: Verwirrend für Laien, einsichtig für Mathematiker,
aber leider unbrauchbar für Spieler.

VON JOACHIM LAUKENMANN

Adelaide - Fühlen Sie sich manchmal als geborener Verlierer? Kopf hoch!
Ein spanischer Physiker hat bewiesen, dass doppelter Verlust zu Gewinn
verhelfen kann. Von Mathematikern wird dieses Phänomen, das jeglicher
Intuition widerspricht, als Parrondos Paradox bezeichnet - benannt nach
Juan Parrondo von der Universität Complutense in Madrid, der es 1997
entdeckte.
Australische Wissenschaftler haben das Paradox nun mit Hilfe einer
Computersimulation bestätigt; zugleich zeichnen sich Anwendungen ab: Mit
Hilfe des Modells liessen sich womöglich Investmentstrategien erstellen
- oder gar erklären, wie sich Leben auf der Erde entwickelte.

Um das Wesen seines mathematischen Mechanismus zu veranschaulichen, hat
Forscher Parrondo ein Szenario aus zwei Wurfspielen mit insgesamt drei
Münzen erfunden, die auf einer Seite schwerer sind und deshalb mit
unterschiedlich grosser Wahrscheinlichkeit auf die «Siegesseite» fallen.
In Spiel A wirft ein Spieler - nennen wir ihn Peter - die Münze eins,
bei der die Siegchance ein wenig kleiner ist als 50 Prozent. Gewinnt
Peter, erhält er einen Franken, verliert er, muss er einen Franken an
seine Mitspielerin Heidi abgeben. Nach einer Reihe von Würfen landet
Peter erwartungsgemäss auf der Verliererstrasse.

Spiel B ist hingegen komplizierter. Hier wirft Peter die Münzen Nummer
zwei und drei. Münze zwei hat eine Gewinnchance von rund 75 Prozent;
Münze drei führt jedoch in etwa neun von zehn Fällen zu Verlust. Peter
wechselt nun die beiden Münzen nach einer schlichten Regel ab: Immer
wenn die Gesamtzahl seiner verfügbaren Münzen - das Spielkapital also -
ein Vielfaches von drei beträgt, nimmt er die «verlustreiche» Münze
drei. Da dieser Fall vergleichsweise selten eintritt, bedeutet das:
Peter wirft häufiger die Gewinn bringende Münze zwei. Verlieren wird er
auf Dauer gesehen trotzdem, denn Münze drei mit rund 90 Prozent
Verlustrisiko wiegt die guten Chancen von Münze zwei mehr als auf.

Treiben Spiel A und B Peter also in die Pleite? Keineswegs! «Jedes Spiel
für sich genommen ist zwar ein Verlustspiel», sagt Juan Parrondo, «das
Verblüffende ist aber, dass ein Wechsel zwischen beiden Spielen zum Sieg
führt.» Ein rätselhafter Effekt, der mathematisch allerdings bewiesen
ist.

Um dieses Paradox zu verstehen, nutzt man das Bild einer so genannten
Rätsche. Solche Bauteile mit schiefen «Sägezähnen» finden sich zum
Beispiel im Zahnräderwerk von Armbanduhren, die sich selbst durch
Bewegung aufziehen, oder im Gestell von Hebebühnen. Ein Schnapper, der
zwischen diese Zähne greift, lässt eine Bewegung der Rätsche in eine
Richtung zu, blockiert sie aber in der Gegenrichtung.

Bei Parrondos Paradox geht es strenggenommen um eine «pulsierende
Rätsche»: ein System, mit dem sich beispielsweise Biologen den Transport
von Molekülen in einer Zelle erklären. Die Zähne dieser speziellen
Rätsche klappen periodisch ein und aus - wie bei einer Treppe, deren
Stufen wechselweise «da» sind und dann wieder nicht. Ein Tennisball
würde in beiden Fällen - schiefe Ebene oder eben Treppe - jeweils
abwärts rollen. Bei einem Wechsel zwischen beiden Zuständen würde er
jedoch gewissermassen nach oben «massiert».

Auch ohne einen Nachbau dieser Treppe darf man Parrondos Paradox Glauben
schenken: Die Forscher Gregory Harmer und Derek Abbott von der
Universität Adelaide in Australien haben das Münzwurf-Spiel kürzlich am
Computer simuliert. Resultat: Bei 50 000 Durchgängen fanden sie exakt
das vom spanischen Wissenschaftler vorhergesagte Ergebnis. Mehr noch:
Selbst wenn Spiel A und Spiel B nicht in stetem Wechsel, sondern in
zufälliger Reihenfolge gespielt werden, schreiben die beiden Forscher im
Wissenschaftsmagazin «Nature», «werfen sie dennoch Gewinn ab.»

Verwirrend für Laien, einsichtig für Mathematiker. Derweil sucht Juan
Parrondo nach Situationen, in denen sein Paradox tatsächlich auftritt.
Fündig wurde er bereits in der Chaosforschung: Er verformte geometrische
Muster, zum Beispiel Bienenwaben, nach einer bestimmten Vorgabe bis zur
Unkenntlichkeit - und kombinierte dann die Regeln zur Verformung neu.
Ergebnis: Aus zwei chaotischen Mustern entstand wiederum ein
regelmässiges Mosaik.

Forscher suchen nach praktischen Anwendungen für den Effekt

Dieses Phänomen könnte etwa in der Evolutionstheorie nützen, meint
Parrondo: «Komplexe Strukturen wie Lebewesen könnten durch wechselnde
Umweltbedingungen wie Tag/Nacht oder Sommer/Winter entstanden sein.»
Molekulare Rätschen könnten, so der Physiker, damit das Leben in seiner
Evolution zu grösserer Komplexität unterstützen.

Andere Wissenschaftler suchen mittlerweile nach praktischen Anwendungen
des Effektes. Zum Beispiel Sergei Maslow, Physiker am Brookhaven
National Laboratory in New York: Er analysiert Investmentstrategien.
Zwei oder mehr verlustträchtige Aktien, so fand er heraus, können durch
den «Rätschen-Effekt» zu einem Gewinnfonds kombiniert werden. Fazit:
«Das Ganze ist manchmal mehr als die Summe seiner Teile.»
Um Maslows Modell an der Börse anwenden zu können, ist es allerdings zu
stark vereinfacht. Ähnliches gilt für andere Anwendungen des Prinzips:
Bei echten Glückspielen tritt Parondos Paradox niemals auf - leider.

Die Spieltheorie hilft, einen Entscheid zu fällen

Die Spieltheorie untersucht, wie Menschen oder Organisationen sich unter
bestimmten Bedingungen verhalten und entscheiden. Ein klassisches
Beispiel ist das so genannte Gefangenendilemma: Zwei Inhaftierte werden
verdächtigt, gemeinsam eine Straftat begangen zu haben, die maximal fünf
Jahre Freiheitsstrafe nach sich zieht.

Der Richter trägt nun jedem der beiden mehrere Alternativen vor.
Erstens: Wenn du deinen Partner belastest, kommst du ohne Strafe davon,
und er muss die vollen 5 Jahre absitzen. Zweitens: Schweigt ihr beide,
liegen genügend Indizienbeweise vor, um jeden von euch zu zwei Jahren
Haft zu verurteilen. Drittens: Wenn ihr beide gesteht, müsst ihr vier
Jahre hinter Gittern verbringen.

Wie werden sich die Gefangenen entscheiden? In der Spieltheorie wird nun
eine so genannte Payoff-Matrix aufgestellt: eine Tabelle, in der
sämtliche Entscheidungsmöglichkeiten der Gefangenen eingetragen und mit
Punkten bewertet sind. Je höher die Punktzahl, desto vorteilhafter das
Verhalten für den Gefangenen. Anwenden lässt sich dieses Verfahren vor
allem auf komplexe Konfliktsituationen. So wurde die Spieltheorie bei
einer Reihe von Konfrontationen im Kalten Krieg eingesetzt, um etwa die
Reaktion der Sowjetunion während der Kubakrise von 1962 zu beurteilen.

Eine spezielle Variante solcher Analysen sind so genannte
2-Personen-Nullsummenspiele, bei denen ein Gegner gewinnt, was der
andere verliert - wie zum Beispiel bei Parrondos Paradox.

Quelle: Tagesanzeiger ArtId=19639

MfG
Valentin
_________________

[FreedomMan]

Höchst erstaunlich!

Aber eins ist mir nicht klar: wieso lässt sich so eindeutig sagen, dass Parrandos Paradoxon bei echten Glücksspielen niemals auftritt ????

[FreedomMan]

Hallo,

hier nochmal ein interessanter Artikel zu diesem Thema:

Hurra, miese Chancen!

Von Ehrhard Behrends, erschienen in der FASZ vom 27. 1. 2003

Im wirklichen Leben geht es nicht immer logisch zu. Die falschen Leute bekommen die Gehaltserhöhungen, der billige Urlaub kann interessanter sein als der teure – und so weiter. Diese Lebenserfahrung hat nun, wie es scheint, eine mathematische Begründung bekommen: Seit einiger Zeit wird über ein nach dem spanischen Atomphysiker Juan Parrondo benanntes Paradoxon diskutiert, das man in Kurzfassung als „Verlust + Verlust = Gewinn" beschreiben könnte.
Zur Beschreibung der Ausgangssituation begeben wir uns in ein Spielcasino. Gleich links vom Eingang finden wir einen Klassiker, den wir "Spiel 1" nennen wollen. Wer sich daran beteiligt, gewinnt mit 50 Prozent Wahrscheinlichkeit – Mathematiker sagen dazu: „Wahrscheinlichkeit 0.5’’ - einen Euro. Mit gleicher Wahrscheinlichkeit ist ein Euro weg. Der Croupier könnte zum Beispiel eine faire Münze werfen oder auch ein ganz gewöhnliches Roulette verwenden und den Einsatz auf "Rot" deponieren. (Dann dürften wir allerdings Runden nicht zählen, bei denen eine Null erscheint, die gehen ja an die Bank.)
Rechts vom Eingang findet sich ein anderes Spiel, das "Spiel 2". Hier hat der Croupier etwas mehr zu tun. Die Chancen für einen Gewinn sind in diesem Spiel nämlich in jeder Runde vom bisherigen Spielverlauf abhängig. Die Spielregeln sind die folgenden:

Regel 1: Hat der Spieler bisher einen Betrag gewonnen, der durch drei teilbar ist, so wirft der Croupier eine extrem unfaire, für den Spieler ungünstige Münze, wir wollen sie Münze A nennen. Sie zeigt mit Wahrscheinlichkeit 1/10 den Wert +1 und mit Wahrscheinlichkeit 9/10 den Wert -1. Je nach Ausgang des Münzwurfs erhöht oder vermindert sich das Kapital des Spielers dann um einen Euro.
Regel 2: Ist das bisher angehäufte Kapital nicht durch drei teilbar, sieht es für den Spieler rosiger aus, jetzt wird nämlich mit Münze B gearbeitet. Die zeigt mit einer für den Spieler erfreulichen Wahrscheinlichkeit von 3/4 den Wert +1 und mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/4 den Wert -1.
Wie sieht der typische Spielverlauf bei Spiel 2 aus? Am Anfang ist der bisher gewonnene Betrag gleich null, also - da null durch drei teilbar ist - greift der Croupier zu Münze A. Angenommen, wir verlieren einen Euro. Da im nächsten Spiel Münze B verwendet wird, werden wir danach mit beruhigender 75-prozentiger Sicherheit wieder um einen Euro reicher sein, also wieder auf null: Es geht von vorn los. Wenn wir allerdings die erste Runde gewonnen haben sollten, können wir uns freuen, denn nun wird, wieder wegen Münze B, ziemlich sicher auch die nächste und dann auch die übernächste Runde an uns gehen. Das liegt daran, daß 1 und 2 beide nicht durch 3 teilbar sind.
Es ist nicht auf Anhieb zu erkennen, ob die für den Spieler ungünstige Situation im Fall eines bisherigen Gesamtgewinns von 0 Euro, 3 Euro, -3 Euro, 6 Euro, -6 Euro, ... durch die dank Münze B ziemlich wahrscheinliche Kapitalvermehrung in den anderen Fällen ausgeglichen wird. Das Spiel ist sicher nicht fair, wenn man es nur eine Runde spielt, denn für die ist nach den Gesetzen der Wahrscheinlichkeit im Mittel ein Gewinn von 1*(1/10) Euro plus (-1)*(9/10) Euro, also von insgesamt -8/10 Euro zu erwarten. Spielt man immer nur eine Runde, so wird einen das im Mittel um 80 Cent pro Runde ärmer machen. Spielt man das Spiel jedoch für mehrere Runden hintereinander, so wird es immer fairer: Nach einer durchspielten Nacht werden sich Gewinn und Verlust an Tisch 2 im Mittel genau so ausgeglichen haben wie an Tisch 1.
Etwas Überraschendes geschieht allerdings, wenn das Casino nun eine kleine Variante für die Spieler zulässt: Sie besteht darin, dass man sich nicht auf Spiel 1 oder Spiel 2 festlegt, sondern dass vor jeder Spielrunde durch einen fairen Münzwurf entschieden wird, welches der beiden Spiele denn nun als nächstes gespielt wird. Etwa: bei „Kopf" Spiel 1, sonst Spiel 2.
Naiverweise würde man erwarten, dass sich dadurch an den Chancen nichts Wesentliches ändert. Das ist aber nicht der Fall, denn nun spielen wir plötzlich ein Gewinnspiel: Das ist Parrondos Paradoxon.
Wenn man uns nämlich nur lange genug spielen lässt, haben wir die Chance, unermesslich reich zu werden, ungefähr so, als wenn wir nur Spiel 1 spielen würden, es aber geschafft hätten, die faire Münze des Croupiers durch eine für uns günstige auszutauschen.
Wir haben hier eine „fair-plus-fair-gleich-Gewinn"-Situation vor uns. Durch eine kleine Änderung kann man das Ganze noch ein bisschen spektakulärer machen und zu „Verlust plus Verlust gleich Gewinn" kommen. Man erhebt einfach für Spiel 1 und Spiel 2 eine Teilnahmegebühr, die so winzig ist, dass sie gegen den Gewinn beim gemischten Spiel nicht ins Gewicht fällt.
Wie kann der Zufall einen Gewinn erzeugen? Schauen wir uns noch einmal Spiel 2 an. Da gibt es für den Spieler schlechte und gute Situationen, je nachdem, ob das Kapital durch drei teilbar ist oder nicht. Scheinbar sind zwei Drittel der Situationen gut. Das Ganze ist trotzdem für alle Beteiligten fair, weil man durch die Wahl der Wahrscheinlichkeiten bei den Münzen A und B dafür gesorgt hat, dass man im Mittel gleich oft einen Euro verliert oder gewinnt.
Und dieses sorgsam austarierte Gleichgewicht wird nun gestört, wenn zwischendurch hin und wieder mit Spiel 1 gespielt wird. Öfter als eigentlich vorgesehen, hat man ein nicht durch drei teilbares Kapital: Wieso? Wenn das Spiel 1 dran ist, sind zwei Möglichkeiten denkbar. Erstens: Das bisherige Kapital war durch drei teilbar, zum Beispiel 6 Euro; nach dem Spiel 1 ist es nicht mehr durch drei teilbar, denn nun sind es 5 oder 7 Euro. Zweitens: Es war nicht durch drei teilbar, etwa 5 Euro – und nach Spiel 1 ist es nur in 50 Prozent der Fälle teilbar (bei 6 Euro, nicht aber bei 4 Euro). So erhöht sich die Zahl der Fälle, in denen das Kapital durch nicht drei teilbar ist und das Spiel zwei gespielt wird.

[Shiro]

So dann schreibe auch ich hier mal mein ersten Beitrag.

Ich habe mir überlegt, dass man doch z.B. bei Roulette auf ~75% der Zahlen setzen könnte, die nächstliegende Zahl wäre 28, mit 75,7%. Wir setzen also wenn die 75% Chance drankommt auf 28 Zahlen.

Wenn wir nun einen Betrag haben der durch 3 teilbar ist, setzen wir ja nun auf 10% der Zahlen, was ~4 Zahlen sind mit 10,8%.

Wenn wir eine 50:50 Chance erzeugen wollen, können wir auf Gerade/Ungerade setzen, was allerdings durch den Zeronachteil wiederum ungenau ist. Vielleicht sollte man für die 50:50 lieber ein ganz anderes Spiel als Roulette wählen, wo die 50:50 Chance exakter ist.

Aber das sind so meine Groben Überlegungen, die sehr einfach sind und wahrscheinlich auch falsch sind

Vielleicht erklärt mir einer warum diese Überlegungen falsch sind, weil die Prozent Chancen zu ungenau sind (10,8% bei 4 Zahlen, 75,5% bei 28 Zahlen) oder wegen etwas anderem?

Vielleicht gibt es ein anderes Spiel wo man diese 10% , 75% und 50% Chance exakt erreichen kann und setzen kann?

MfG

Shiro

[Optimierer]

@FreedomMan, @Shiro,

FreedomMan sagte am 25 Feb 2007, 10:34:

Aber eins ist mir nicht klar: wieso lässt sich so eindeutig sagen, dass Parrandos Paradoxon bei echten Glücksspielen niemals auftritt ????

Bei Roulette z.B. lassen sich die Parrondos Bedingungen für die einzelnen Spiele nicht herstellen.

Das Spiel A mit einer knapp 50%-Münze wäre mit EC zwar machbar, aber nicht das Spiel B mit den beiden unterschiedlichen Münzen:
Eine unfaire Münze, die z.B. mit 75% Wahrscheinlichkeit eine Auszahlung wie bei EC ergibt, lässt sich im Roulette nicht simulieren.
Zwar kann man eine ungefähr 75%ige Wahrscheinlicheit herstellen (27 oder 28 Nummern pflastern), aber die Auszahlung ist im Gewinnfall auch entsprechend kleiner. Man bekommt ja dann nicht wie bei Parrondos Münze den Einsatz plus einen Gewinn in gleicher Höhe zurück.

Edit:
Eigentlich ist das aber wirklich das Problem, denn die unfaire Münze 2 (mit 10%) wirft dafür im Gewinnfall auch mehr als ein Stück Gewinn ab.

Parrondos paradoxes Spiel hat in Spiel A eine leicht unfaire Münze1 mit der Gewinnw'keit 0.5–e. Dabei ist e eine kleine Zahl, vergleichbar mit dem EC-Zeronachteil (0,0135).

In Spiel B gibt es Münze2 mit Gewinnw'keit 0.75–e und Münze3 mit 0.1–e (e ist jeweils derselbe kleine Nachteil).

Bei genau diesen W'keiten ergibt sich die Gewinnw'keit für die beschriebene Kombination der beiden Spiele mathematisch zu 0.5127 – 0.9684*e, was bei hinreichend kleinem Nachteil e größer ist als 0.5. Das ist der mathematische Beweis, dass die Kombination der Spiele eine positive Gewinnerwartung hat. Und das, obwohl die Spiele A und B für sich genommen jeweils eine negative Gewinnerwartung haben.
Das ist gerade das Paradoxon dabei und ich finde, Parrondo hat da wirklich etwas sehr interessantes entdeckt.

Es gibt z.B. ein Live-OC, das 15% Bonus auf Einzahlungen ab bestimmter Höhe anbietet, die dann aber 9fach umgesetzt werden müssen, bevor man wieder etwas abheben kann.
Bei z.B. 1000 € Einzahlung hat man dann 1150 € Spielkapital, und muss 1150*9 = 10350 € Umsatz machen. Der durchschnittl. Verlust (2,7%) beträgt dann 10350*0,027 = 279,45 €. Davon sind aber 150 € geschenkt, so dass man nur 129,45 € durchschnittlich verliert, was quasi knapp 1.25% vom Umsatz sind. Ein Zeronachteil von nur 1,25% (auf allen Chancen!) ist aber gar nicht so übel, besser als die normalen 1,35% bei EC.

Und jetzt kommt's: Wenn man genau die Wahrscheinlichkeiten für Parrondos Spiele A und B im Roulette nachbilden könnte und e=0.0125 einsetzt (unser neuer Zeronachteil), dann ergibt sich die Gewinnw'keit zu 0.5127 – 0.9684*e = 0.5006, d.h. man hätte sogar noch einen Vorteil von 0.0006 bzw. 0.06% !!! Auf diese Weise könnte man Roulette zu einem mehr als fairen Spiel machen!

Machbar wäre die 50%ige Münze1 als normale EC und die 75%ige Münze2 als 27 Pleins (9 TVP), aber mit der 10%igen Münze3 gibt's ein Problem: Es müssten genau 3,6 Nummern abgedeckt werden. Die Berechnung der gesamten Gewinnw'keit erfordert leider einige Kenntnisse der höheren Mathematik, die ich (noch) nicht habe. Man kann vielleicht ähnliche W'keitsverhältnisse finden, die für Roulette besser passen und ebenfalls den Zeronachteil mindestens eliminieren. Die mathematische Lösung ist also zum greifen nah...

Gruß, Optimierer

Bearbeitet von Optimierer, 11 November 2008 - 15:39.

[Optimierer]

Hallo @all,

Die Sache hat mich nicht losgelassen. Habe noch ein bisschen drüber nachgedacht und -gelesen.

Und jetzt ist alles klar: Es funktioniert sicher nicht im Roulette.

Das Problem ist wirklich die Tatsache, dass man das Spiel B mit den beiden unfairen Münzen auch nicht im entferntesten nachbilden kann, weil die Auszahlungspraxis eine völlig andere ist. Eine 75%ige Gewinnw'keit mit Auszahlung wie bei EC liegt einfach nicht drin und auch keine 10%ige mit EC-Auszahlung. In Parrondos Spiel kommt es ja nur darauf an, anzahlmäßig öfter zu gewinnen als zu verlieren (wie bei EC im Gleichsatz), um per Saldo im Plus zu landen. Bei z.B. 9 gesetzten TVP als 75%-Chance reicht es aber nicht aus, wenn man öfter gewinnt als verliert, denn das ist ja ohnehin die Regel, wenn viel abgedeckt wird.

Zudem ist die Spielregel für Parrondos Spiel B eine ganz besondere: Welche der beiden Münzen benutzt werden muss, ist starr vorgeschrieben und hängt vom Saldo ab. Dadurch ergibt sich ein empfindliches Gleichgewicht, welches garantiert, dass es sich trotz eigentlich unfairer Münzen um ein faires Spiel handelt, wenn die Gewinnw'keiten der beiden Münzen genau 75% und 10% betragen und bei durch 3 teilbarem Saldo immer die 10%-Münze zwingend verwendet werden muss.

Damit wird auch klar, dass mit abwechselndem Spiel A und B insgesamt ein Gewinn zu erwarten ist: Die Praxis der Abwechslung wird in vielen Fällen dafür sorgen, dass bei durch 3 teilbarem Saldo statt des Spiels B mit der schlechten 10%-Münze als nächstes zufällig das Spiel A mit 50%-Chance an der Reihe ist, und das führt dann immer zu einem nicht mehr durch 3 teilbaren Saldo, so dass das folgende Spiel B erneut mit der guten 75%-Münze gespielt werden kann usw.

Durch diesen Trick wird das empfindliche Gleichgewicht des Spiels B zugunsten der 75%-Münze gestört und man kann sogar noch dauerhaft gewinnen, wenn alle Münzen jeweils etwas weniger als 50%, 75% und 10% Gewinnw'keit haben, d.h. wenn die Spiele A und B für sich genommen jeweils in Minus laufen würden.

So verblüffend die Sache auch ist, für Roulette-Spieler ist sie leider unbrauchbar...

Gruß, Optimierer

Bearbeitet von Optimierer, 14 November 2008 - 17:53.